题目

有一储气罐，罐盖用12个M20的普通螺栓（小径d_1=17.294(mm)）均布连接。安装时每个螺栓的预紧力F'=18000(N)，气罐内径D=400(mm)，气压P=1(MPa)，螺栓采用45钢，许用拉应力[sigma]=160(MPa)，螺栓相对刚度为0.8，试求：(1) 单个螺栓的总拉力F_0；(2) 试校核螺栓强度。

有一储气罐，罐盖用12个M20的普通螺栓（小径$d_1=17.294\text{mm}$）均布连接。安装时每个螺栓的预紧力$F'=18000\text{N}$，气罐内径$D=400\text{mm}$，气压$P=1\text{MPa}$，螺栓采用45钢，许用拉应力$[\sigma]=160\text{MPa}$，螺栓相对刚度为0.8，试求： (1) 单个螺栓的总拉力$F_0$； (2) 试校核螺栓强度。

题目解答

答案

1. 总工作载荷为 $ F = p \times A = 1 \times 10^6 \times \frac{\pi \times 400^2}{4} \times 10^{-6} = 125663.7 \, \text{N} $。单个螺栓工作载荷为 $ F'' = \frac{F}{12} = 10472 \, \text{N} $。总拉力为 $ F_0 = F' + c F'' = 18000 + 0.8 \times 10472 = 26377.6 \, \text{N} $。 2. 螺栓有效面积 $ A_s = \frac{\pi d_1^2}{4} = 234.5 \, \text{mm}^2 $。拉应力为 $ \sigma = \frac{F_0}{A_s} = \frac{26378}{234.5} \approx 112.5 \, \text{MPa} $。由于 $ \sigma < [\sigma] = 160 \, \text{MPa} $，螺栓强度满足要求。答案： (1) 单个螺栓的总拉力 $ F_0 \approx 26378 \, \text{N} $。 (2) 螺栓强度满足要求，$ \sigma \approx 112.5 \, \text{MPa} < 160 \, \text{MPa} $。

解析

考查要点：本题主要考查螺栓连接的受力分析与强度校核，涉及预紧力、工作载荷、总拉力计算以及拉应力计算与许用应力比较。

解题核心思路：

总拉力计算：总拉力由预紧力和工作载荷共同决定，需考虑螺栓的相对刚度。
强度校核：通过计算螺栓的拉应力并与许用应力对比，判断强度是否满足要求。

破题关键点：

总轴向力计算：根据气罐内压和内径计算总轴向力。
工作载荷分配：总轴向力按螺栓数量均分后，乘以相对刚度得到单个螺栓的工作载荷。
有效面积计算：使用螺栓小径计算有效面积，避免混淆螺纹大径与小径。

第（1）题：单个螺栓的总拉力$F_0$

计算总轴向力$F$

储气罐内部压力产生的总轴向力为：
$F = P \cdot A = P \cdot \frac{\pi D^2}{4}$
代入$P=1\text{MPa}=10^6\text{Pa}$，$D=400\text{mm}=0.4\text{m}$：
$F = 10^6 \cdot \frac{\pi \cdot 0.4^2}{4} = 125663.7\text{N}$

计算单个螺栓的工作载荷$F''$

总轴向力由12个螺栓分担：
$F'' = \frac{F}{12} = \frac{125663.7}{12} \approx 10472\text{N}$

计算总拉力$F_0$

总拉力为预紧力与工作载荷的叠加（考虑相对刚度$c=0.8$）：
$F_0 = F' + c \cdot F'' = 18000 + 0.8 \cdot 10472 \approx 26377.6\text{N}$

第（2）题：螺栓强度校核

计算螺栓有效面积$A_s$

有效面积由螺栓小径$d_1=17.294\text{mm}$决定：
$A_s = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi \cdot 17.294^2}{4} \approx 234.5\text{mm}^2$

计算拉应力$\sigma$

拉应力为总拉力与有效面积的比值：
$\sigma = \frac{F_0}{A_s} = \frac{26377.6}{234.5} \approx 112.5\text{MPa}$

强度判断

因$\sigma = 112.5\text{MPa} < [\sigma] = 160\text{MPa}$，螺栓强度满足要求。