给定素数p=3,q=11,用RSA算法生成一对密钥。(1)计算密钥的模n和欧拉函数φ(n)的值。(2)若选公钥[1]e=3,计算私钥[2]d的值。(3)计算对于数据m=5进行加密的结果,即计算密文[3]c的值。

考查要点：本题主要考查RSA算法的基本实现步骤，包括密钥生成、私钥计算及加密过程。
解题思路：

1. 计算模$n$和欧拉函数$\phi(n)$：利用素数$p$和$q$直接相乘得到$n$，通过公式$\phi(n)=(p-1)(q-1)$计算欧拉函数值。
2. 求私钥$d$：根据条件$ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$，通过寻找$e$的模$\phi(n)$逆元确定$d$。
3. 加密过程：应用公钥$(e,n)$对明文$m$进行模幂运算，得到密文$c$。

关键点：

• RSA核心公式：$n=pq$，$\phi(n)=(p-1)(q-1)$，$ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$，$c=m^e \bmod n$。
• 逆元求解：通过试数法或扩展欧几里得算法找到满足条件的$d$。

第（1）题：计算$n$和$\phi(n)$

计算模$n$

根据公式$n=pq$，代入$p=3$，$q=11$：
$n = 3 \times 11 = 33$

计算欧拉函数$\phi(n)$

根据公式$\phi(n)=(p-1)(q-1)$，代入$p=3$，$q=11$：
$\phi(n) = (3-1)(11-1) = 2 \times 10 = 20$

第（2）题：计算私钥$d$

建立方程

根据条件$ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$，已知$e=3$，$\phi(n)=20$，方程为：
$3d \equiv 1 \pmod{20}$

寻找满足条件的$d$

通过试数法：

• $3 \times 7 = 21 \equiv 1 \pmod{20}$
  因此，$d=7$。

第（3）题：计算密文$c$

应用加密公式

根据公式$c = m^e \bmod n$，代入$m=5$，$e=3$，$n=33$：
$c = 5^3 \bmod 33 = 125 \bmod 33 = 26$