5-11 在303K、10^5Pa下,苯(1)和环己烷(2)的液体混合物的摩尔体积V和苯的摩-|||-尔分数x1的关系如下:-|||-=109.4-16.8(x)_(1)-2.64({x)_(1)}^2(cm)^3cdot (mol)^-1-|||-试导出V1和V2和 Delta V 的表达式。

考查要点：本题主要考查液体混合物中偏摩尔体积的计算及体积混合性质的变化ΔV的推导。
解题核心思路：

1. 偏摩尔体积的定义：利用偏导数表达各组分的偏摩尔体积，结合二元混合物中摩尔分数的关系（x₂=1−x₁）。
2. 导数计算：对给定的体积表达式V(x₁)求导，代入偏摩尔体积的公式。
3. ΔV的计算：通过纯物质体积与混合物中偏摩尔体积的差值，结合摩尔分数求和。

破题关键点：

• 偏导数的应用：正确处理x₂与x₁的关系，避免遗漏符号变化。
• 极限条件验证：通过x₁→1和x₁→0验证偏摩尔体积的合理性。

1. 偏摩尔体积V₁和V₂的推导

根据偏摩尔体积的公式：
$\begin{aligned} \overline{V}_1 &= V + x_2 \frac{dV}{dx_1}, \\ \overline{V}_2 &= V - x_1 \frac{dV}{dx_1}, \end{aligned}$
其中$x_2 = 1 - x_1$，代入题目中$V = 109.4 -16.8x_1 -2.64x_1^2$，求导得：
$\frac{dV}{dx_1} = -16.8 -5.28x_1.$

代入公式：

• V₁的表达式：
  $\overline{V}_1 = (109.4 -16.8x_1 -2.64x_1^2) + (1 - x_1)(-16.8 -5.28x_1).$
  展开并整理得：
  $\overline{V}_1 = 92.6 -5.28x_1 +2.64x_1^2 \quad \text{(式A)}.$

• V₂的表达式：
  $\overline{V}_2 = (109.4 -16.8x_1 -2.64x_1^2) - x_1(-16.8 -5.28x_1).$
  展开并整理得：
  $\overline{V}_2 = 109.4 +2.64x_1^2 \quad \text{(式B)}.$

2. 体积混合性质ΔV的推导

根据定义：
$\Delta V = x_1(\overline{V}_1 - V_1^*) + x_2(\overline{V}_2 - V_2^*),$
其中$V_1^*$和$V_2^*$为纯物质体积。

• 当x₁→1时，$\overline{V}_1 \to V_1^* = 89.96$（式A代入x₁=1）。
• 当x₁→0时，$\overline{V}_2 \to V_2^* = 109.4$（式B代入x₁=0）。

代入ΔV表达式并整理：
$\Delta V = x_1(2.64x_1^2 -5.28x_1 +2.64) + x_2(2.64x_1^2).$
展开并合并同类项得：
$\Delta V = 2.64x_1(1 - x_1) = 2.64x_1x_2.$