题目
1.要发送的数据为101001，采用CRC的生成多项式是P(x)=x^3+x^2+1，试求添加在数据后面的余数。(本小题12分)
1.要发送的数据为101001，采用CRC的生成多项式是$P(x)=x^{3}+x^{2}+1$，试求添加在数据后面的余数。(本小题12分)
题目解答
答案
根据题目，生成多项式 $ P(x) = x^3 + x^2 + 1 $ 对应二进制[1] 1101。需在数据 101001 后添加 3 个 0，得被除数 101001000。将 101001000 除以 1101，进行模 2 除法：
1. 初始被除数：101001000。
2. 除数：1101。
3. 经过多次异或操作，最终余数为 011。
因此，应添加的余数为 011，实际发送数据为 101001011。
解析
本题考查循环冗余校验（CRC）的计算，解题思路是先根据生成多项式得到对应的二进制序列，然后在要发送的数据后面补零，补零的个数等于生成多项式的最高次幂，接着用补零后的数据除以生成多项式对应的二进制序列，进行模 2 除法运算，得到的余数即为要添加在数据后面的余数。
详细步骤
- 确定生成多项式对应的二进制序列：
已知生成多项式$P(x)=x^{3}+x^{2}+1$，根据多项式的系数，$x^3$的系数为 1，$x^2$的系数为 1，$x^1$的系数为 0，$x^0$的系数为 1，所以对应的二进制序列为 1101。 - 在要发送的数据后面补零：
生成多项式的最高次幂为 3，所以在要发送的数据 101001 后面添加 3 个 0，得到被除数 101001000。 - 进行模 2 除法运算：
模 2 除法的规则是不考虑借位和进位，只进行异或运算。具体计算过程如下：- 用 101001000 的前 4 位 1010 与除数 1101 进行异或运算：
$1010\oplus1101 = 0111$ - 将异或结果 0111 与下一位 0 组成 01110，再与除数 1101 进行异或运算：
$01110\oplus1101 = 1011$ - 将异或结果 1011 与下一位 0 组成 10110，再与除数 1101 进行异或运算：
$10110\oplus1101 = 1101$ - 将异或结果 1101 与下一位 0 组成 11010，再与除数 1101 进行异或运算：
$11010\oplus1101 = 0001$ - 将异或结果 0001 与下一位 0 组成 00010，再与除数 1101 进行异或运算：
$00010\oplus1101 = 1111$ - 将异或结果 1111 与下一位 0 组成 11110，再与除数 1101 进行异或运算：
$11110\oplus1101 = 0011$
- 用 101001000 的前 4 位 1010 与除数 1101 进行异或运算：
经过多次异或操作，最终余数为 011。