(mathrm{CO)}_(2)气体在40℃时的摩尔体积为0.381(mathrm{dm)}^-3cdot (mathrm{mol)}^-1。设此(mathrm{CO)}_(2)为范德华气体，试求其压力，并与实验值5066.3kPa进行比较，计算相对误差。
${\mathrm{CO}}_{2}$气体在40℃时的摩尔体积为$0.381{\mathrm{dm}}^{-3}\cdot {\mathrm{mol}}^{-1}$。设此${\mathrm{CO}}_{2}$为范德华气体，试求其压力，并与实验值5066.3kPa进行比较，计算相对误差。
题目解答
答案
【答案】
根据范德华方程$p=\dfrac{RT}{{V}_{m}-b}-\dfrac{a}{{V}_{m}^{2}}$，查表得${\mathrm{CO}}_{2}$得范德华常数：$\mathrm{a}=364.0\times {10}^{-3}\mathrm{Pa}\cdot {\mathrm{m}}^{6}\cdot {\mathrm{mol}}^{-2}，\mathrm{b}=42.67\times {10}^{-6}{\mathrm{m}}^{3}/\mathrm{mol}$
$\mathrm{p}=\left[\dfrac{8.314\times \left(273.15+40\right)}{0.381\times {10}^{-3}-42.67\times {10}^{-6}}-\dfrac{364.0\times {10}^{-3}}{{\left(0.381\times {10}^{-3}\right)}^{2}}\right]\mathrm{P}\mathrm{a}=5187.7\mathrm{k}Pa$
相对误差为：$\mathrm{r}=\dfrac{5187.7-5066.3}{5066.3}\times 100\%=2.4\%$
【解析】
根据范德华方程$p=\dfrac{RT}{{V}_{m}-b}-\dfrac{a}{{V}_{m}^{2}}$，查表得${\mathrm{CO}}_{2}$得范德华常数：$\mathrm{a}=364.0\times {10}^{-3}\mathrm{Pa}\cdot {\mathrm{m}}^{6}\cdot {\mathrm{mol}}^{-2}，\mathrm{b}=42.67\times {10}^{-6}{\mathrm{m}}^{3}/\mathrm{mol}$
$\mathrm{p}=\left[\dfrac{8.314\times \left(273.15+40\right)}{0.381\times {10}^{-3}-42.67\times {10}^{-6}}-\dfrac{364.0\times {10}^{-3}}{{\left(0.381\times {10}^{-3}\right)}^{2}}\right]\mathrm{P}\mathrm{a}=5187.7\mathrm{k}Pa$
相对误差为：$\mathrm{r}=\dfrac{5187.7-5066.3}{5066.3}\times 100\%=2.4\%$
故答案为：根据范德华方程$p=\dfrac{RT}{{V}_{m}-b}-\dfrac{a}{{V}_{m}^{2}}$，查表得${\mathrm{CO}}_{2}$得范德华常数：$\mathrm{a}=364.0\times {10}^{-3}\mathrm{Pa}\cdot {\mathrm{m}}^{6}\cdot {\mathrm{mol}}^{-2}，\mathrm{b}=42.67\times {10}^{-6}{\mathrm{m}}^{3}/\mathrm{mol}$
$\mathrm{p}=\left[\dfrac{8.314\times \left(273.15+40\right)}{0.381\times {10}^{-3}-42.67\times {10}^{-6}}-\dfrac{364.0\times {10}^{-3}}{{\left(0.381\times {10}^{-3}\right)}^{2}}\right]\mathrm{P}\mathrm{a}=5187.7\mathrm{k}Pa$
相对误差为：$\mathrm{r}=\dfrac{5187.7-5066.3}{5066.3}\times 100\%=2.4\%$
解析
考查要点：本题主要考查范德华方程的应用及相对误差的计算。
解题思路：
- 范德华方程是解决非理想气体问题的核心，需正确代入气体常数$a$、$b$及题目条件。
- 单位统一是关键，需将摩尔体积从$\mathrm{dm^3/mol}$转换为$\mathrm{m^3/mol}$。
- 相对误差公式直接比较理论值与实验值，注意百分比的转换。
步骤1：写出范德华方程
范德华方程为：
$p = \frac{RT}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^2}$
其中，$R=8.314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$，$T=40^\circ\mathrm{C}=313.15\ \mathrm{K}$，$V_m=0.381\ \mathrm{dm^3/mol}=0.381 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3/mol}$。
步骤2：代入范德华常数
查表得$\mathrm{CO}_2$的范德华常数：
$a = 364.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{Pa \cdot m^6/mol^2},\quad b = 42.67 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^3/mol}$
步骤3：计算各分量
第一项 $\frac{RT}{V_m - b}$
- 计算分母：
$V_m - b = 0.381 \times 10^{-3} - 42.67 \times 10^{-6} = 0.33833 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3/mol}$ - 计算分子：
$RT = 8.314 \times 313.15 \approx 2603.5\ \mathrm{J/mol}$ - 第一项结果：
$\frac{2603.5}{0.33833 \times 10^{-3}} \approx 7,700,000\ \mathrm{Pa} = 7700\ \mathrm{kPa}$
第二项 $\frac{a}{V_m^2}$
- 计算分母：
$V_m^2 = (0.381 \times 10^{-3})^2 = 1.45161 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^6/mol^2}$ - 第二项结果：
$\frac{364.0 \times 10^{-3}}{1.45161 \times 10^{-7}} \approx 2507\ \mathrm{kPa}$
步骤4：求压力
$p = 7700\ \mathrm{kPa} - 2507\ \mathrm{kPa} = 5187.7\ \mathrm{kPa}$
步骤5：计算相对误差
$r = \frac{5187.7 - 5066.3}{5066.3} \times 100\% \approx 2.4\%$