题目

一棵二叉树[1]的结点[2]总数为2024，则该二叉树的高度可以是下列哪些值 A 2023 B 11 C 2022 D 10

一棵二叉树^[1]的结点^[2]总数为2024，则该二叉树的高度可以是下列哪些值

A 2023

B 11

C 2022

D 10

题目解答

对于一棵二叉树，如果它的节点总数为2024，那么它的高度可以从以下两个极端来考虑：

1. 最小高度：当二叉树是完全平衡时，二叉树的高度是最小的。完全二叉树^[3]的节点数公式为 $n=2^h-1$ ，其中h是高度。因此对于2024个节点，最小高度 h 满足 $2^{h-1}\le2024<2^h$ 。计算得到 $2^{11}=2048$ ，因此最小高度是11。

2. 最大高度：当二叉树退化成一个链表（即每个节点只有一个子节点）时，二叉树的高度是最大的。在这种情况下，高度等于节点总数。因此，最大高度可以是2024。

根据上述分析，可能的高度可以是11（最小高度）和2024（最大高度）之间的。

因此，答案是：ABC

考查要点：本题主要考查二叉树高度的计算，涉及完全二叉树的最小高度和链状二叉树的最大高度两种极端情况。

解题核心思路：

最小高度：当二叉树为完全二叉树时，高度最小。根据公式 $2^{h-1} \leq n < 2^h$，代入 $n=2024$，计算得最小高度为 $11$。
最大高度：当二叉树退化为链表（每个节点仅有一个子节点）时，高度最大，等于节点总数减一，即 $2023$。
中间情况：高度在 $[11, 2023]$ 之间的值均可能，具体取决于树的结构。

关键点：明确二叉树高度的定义（根节点到最远叶子节点的边数），并理解两种极端结构对应的边界值。

最小高度分析

完全二叉树的节点数满足 $2^{h-1} \leq n < 2^h$。
代入 $n=2024$，计算得：

最大高度分析

当二叉树退化为链表时，每个节点仅有一个子节点，此时高度为节点总数减一：
$h = 2024 - 1 = 2023 \quad (\text{对应选项 } A).$

中间情况分析

若树的结构介于完全平衡和链表之间，例如根节点有一条长链和少量分支，则高度可能小于 $2023$。例如：

排除错误选项

选项 D (10) 小于最小高度 $11$，不可能成立。