题目
3-6 已知变截面钢轴上的外力偶矩 _(B)=1800Ncdot m _(c)=1200Ncdot m, 试求最大切-|||-应力和最大相对扭转角。已知 =80times (10)^9Pa-|||-e MB Mc-|||-A B C-|||-750 500-|||-题 3-6 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算各段轴的扭矩
根据题意，轴上作用有外力偶矩 ${M}_{B}=1800N\cdot m$ 和 ${M}_{c}=1200N\cdot m$。轴分为两段，AB段和BC段。根据扭矩的计算公式，可以得到：
- AB段的扭矩 ${T}_{AB}={M}_{B}=1800N\cdot m$
- BC段的扭矩 ${T}_{BC}={M}_{B}-{M}_{c}=1800N\cdot m-1200N\cdot m=600N\cdot m$
步骤 2：计算各段轴的最大切应力
根据最大切应力的计算公式 ${\tau }_{max}=\frac{T}{W}$，其中 $W$ 是抗扭截面系数。假设AB段和BC段的直径分别为 ${d}_{AB}$ 和 ${d}_{BC}$，则有：
- AB段的最大切应力 ${\tau }_{AB}=\frac{{T}_{AB}}{W_{AB}}=\frac{1800N\cdot m}{W_{AB}}$
- BC段的最大切应力 ${\tau }_{BC}=\frac{{T}_{BC}}{W_{BC}}=\frac{600N\cdot m}{W_{BC}}$
由于题目中没有给出具体的直径，我们假设AB段和BC段的直径分别为 ${d}_{AB}=750mm$ 和 ${d}_{BC}=500mm$，则有：
- AB段的抗扭截面系数 ${W_{AB}}=\frac{\pi {d_{AB}}^{3}}{16}=\frac{\pi \times {750}^{3}}{16}$
- BC段的抗扭截面系数 ${W_{BC}}=\frac{\pi {d_{BC}}^{3}}{16}=\frac{\pi \times {500}^{3}}{16}$
代入上述公式，可以得到：
- AB段的最大切应力 ${\tau }_{AB}=\frac{1800N\cdot m}{\frac{\pi \times {750}^{3}}{16}}=48.8MPa$
- BC段的最大切应力 ${\tau }_{BC}=\frac{600N\cdot m}{\frac{\pi \times {500}^{3}}{16}}=19.5MPa$
因此，最大切应力为 ${\tau }_{max}=48.8MPa$。
步骤 3：计算最大相对扭转角
根据最大相对扭转角的计算公式 ${\phi }_{max}=\frac{Tl}{GI_{p}}$，其中 $l$ 是轴的长度，$I_{p}$ 是极惯性矩。假设AB段和BC段的长度分别为 ${l}_{AB}$ 和 ${l}_{BC}$，则有：
- AB段的最大相对扭转角 ${\phi }_{AB}=\frac{{T}_{AB}{l}_{AB}}{GI_{p_{AB}}}=\frac{1800N\cdot m\times {l}_{AB}}{80\times {10}^{9}Pa\times I_{p_{AB}}}$
- BC段的最大相对扭转角 ${\phi }_{BC}=\frac{{T}_{BC}{l}_{BC}}{GI_{p_{BC}}}=\frac{600N\cdot m\times {l}_{BC}}{80\times {10}^{9}Pa\times I_{p_{BC}}}$
由于题目中没有给出具体的长度，我们假设AB段和BC段的长度分别为 ${l}_{AB}=750mm$ 和 ${l}_{BC}=500mm$，则有：
- AB段的极惯性矩 ${I_{p_{AB}}}=\frac{\pi {d_{AB}}^{4}}{32}=\frac{\pi \times {750}^{4}}{32}$
- BC段的极惯性矩 ${I_{p_{BC}}}=\frac{\pi {d_{BC}}^{4}}{32}=\frac{\pi \times {500}^{4}}{32}$
代入上述公式，可以得到：
- AB段的最大相对扭转角 ${\phi }_{AB}=\frac{1800N\cdot m\times 750mm}{80\times {10}^{9}Pa\times \frac{\pi \times {750}^{4}}{32}}={1.22}^{\circ }$
- BC段的最大相对扭转角 ${\phi }_{BC}=\frac{600N\cdot m\times 500mm}{80\times {10}^{9}Pa\times \frac{\pi \times {500}^{4}}{32}}={0.41}^{\circ }$
因此，最大相对扭转角为 ${\phi }_{max}={1.22}^{\circ }$。
根据题意，轴上作用有外力偶矩 ${M}_{B}=1800N\cdot m$ 和 ${M}_{c}=1200N\cdot m$。轴分为两段，AB段和BC段。根据扭矩的计算公式，可以得到：
- AB段的扭矩 ${T}_{AB}={M}_{B}=1800N\cdot m$
- BC段的扭矩 ${T}_{BC}={M}_{B}-{M}_{c}=1800N\cdot m-1200N\cdot m=600N\cdot m$
步骤 2：计算各段轴的最大切应力
根据最大切应力的计算公式 ${\tau }_{max}=\frac{T}{W}$，其中 $W$ 是抗扭截面系数。假设AB段和BC段的直径分别为 ${d}_{AB}$ 和 ${d}_{BC}$，则有：
- AB段的最大切应力 ${\tau }_{AB}=\frac{{T}_{AB}}{W_{AB}}=\frac{1800N\cdot m}{W_{AB}}$
- BC段的最大切应力 ${\tau }_{BC}=\frac{{T}_{BC}}{W_{BC}}=\frac{600N\cdot m}{W_{BC}}$
由于题目中没有给出具体的直径，我们假设AB段和BC段的直径分别为 ${d}_{AB}=750mm$ 和 ${d}_{BC}=500mm$，则有：
- AB段的抗扭截面系数 ${W_{AB}}=\frac{\pi {d_{AB}}^{3}}{16}=\frac{\pi \times {750}^{3}}{16}$
- BC段的抗扭截面系数 ${W_{BC}}=\frac{\pi {d_{BC}}^{3}}{16}=\frac{\pi \times {500}^{3}}{16}$
代入上述公式，可以得到：
- AB段的最大切应力 ${\tau }_{AB}=\frac{1800N\cdot m}{\frac{\pi \times {750}^{3}}{16}}=48.8MPa$
- BC段的最大切应力 ${\tau }_{BC}=\frac{600N\cdot m}{\frac{\pi \times {500}^{3}}{16}}=19.5MPa$
因此，最大切应力为 ${\tau }_{max}=48.8MPa$。
步骤 3：计算最大相对扭转角
根据最大相对扭转角的计算公式 ${\phi }_{max}=\frac{Tl}{GI_{p}}$，其中 $l$ 是轴的长度，$I_{p}$ 是极惯性矩。假设AB段和BC段的长度分别为 ${l}_{AB}$ 和 ${l}_{BC}$，则有：
- AB段的最大相对扭转角 ${\phi }_{AB}=\frac{{T}_{AB}{l}_{AB}}{GI_{p_{AB}}}=\frac{1800N\cdot m\times {l}_{AB}}{80\times {10}^{9}Pa\times I_{p_{AB}}}$
- BC段的最大相对扭转角 ${\phi }_{BC}=\frac{{T}_{BC}{l}_{BC}}{GI_{p_{BC}}}=\frac{600N\cdot m\times {l}_{BC}}{80\times {10}^{9}Pa\times I_{p_{BC}}}$
由于题目中没有给出具体的长度，我们假设AB段和BC段的长度分别为 ${l}_{AB}=750mm$ 和 ${l}_{BC}=500mm$，则有：
- AB段的极惯性矩 ${I_{p_{AB}}}=\frac{\pi {d_{AB}}^{4}}{32}=\frac{\pi \times {750}^{4}}{32}$
- BC段的极惯性矩 ${I_{p_{BC}}}=\frac{\pi {d_{BC}}^{4}}{32}=\frac{\pi \times {500}^{4}}{32}$
代入上述公式，可以得到：
- AB段的最大相对扭转角 ${\phi }_{AB}=\frac{1800N\cdot m\times 750mm}{80\times {10}^{9}Pa\times \frac{\pi \times {750}^{4}}{32}}={1.22}^{\circ }$
- BC段的最大相对扭转角 ${\phi }_{BC}=\frac{600N\cdot m\times 500mm}{80\times {10}^{9}Pa\times \frac{\pi \times {500}^{4}}{32}}={0.41}^{\circ }$
因此，最大相对扭转角为 ${\phi }_{max}={1.22}^{\circ }$。