题目
实心圆轴1和空心圆轴2,若两轴的材料、横截面面积、长度和所受扭矩均相同,则两轴的扭转角之间的关系有四种答案,正确的是()。A. varphi_1 > varphi_2B. varphi_1 C. 无法比较D. varphi_1 = varphi_2
实心圆轴1和空心圆轴2,若两轴的材料、横截面面积、长度和所受扭矩均相同,则两轴的扭转角之间的关系有四种答案,正确的是()。
A. $\varphi_1 > \varphi_2$
B. $\varphi_1 < \varphi_2$
C. 无法比较
D. $\varphi_1 = \varphi_2$
题目解答
答案
A. $\varphi_1 > \varphi_2$
解析
步骤 1:理解扭转角公式
扭转角公式为 $\varphi = \frac{Tl}{GJ}$,其中 $T$ 是扭矩,$l$ 是长度,$G$ 是剪切模量,$J$ 是极惯性矩。对于圆轴,$J = \frac{\pi}{2}d^4$ 对于实心圆轴,$J = \frac{\pi}{2}(D^4 - d^4)$ 对于空心圆轴,其中 $d$ 是直径,$D$ 是外径,$d$ 是内径。
步骤 2:比较实心圆轴和空心圆轴的极惯性矩
由于两轴的材料、横截面面积、长度和所受扭矩均相同,因此剪切模量 $G$ 和扭矩 $T$ 相同。横截面面积相同意味着实心圆轴的直径 $d$ 和空心圆轴的外径 $D$ 以及内径 $d$ 之间的关系满足 $d^2 = D^2 - d^2$。因此,空心圆轴的极惯性矩 $J_2$ 大于实心圆轴的极惯性矩 $J_1$。
步骤 3:计算扭转角
由于 $J_2 > J_1$,根据扭转角公式 $\varphi = \frac{Tl}{GJ}$,可以得出 $\varphi_1 > \varphi_2$。
扭转角公式为 $\varphi = \frac{Tl}{GJ}$,其中 $T$ 是扭矩,$l$ 是长度,$G$ 是剪切模量,$J$ 是极惯性矩。对于圆轴,$J = \frac{\pi}{2}d^4$ 对于实心圆轴,$J = \frac{\pi}{2}(D^4 - d^4)$ 对于空心圆轴,其中 $d$ 是直径,$D$ 是外径,$d$ 是内径。
步骤 2:比较实心圆轴和空心圆轴的极惯性矩
由于两轴的材料、横截面面积、长度和所受扭矩均相同,因此剪切模量 $G$ 和扭矩 $T$ 相同。横截面面积相同意味着实心圆轴的直径 $d$ 和空心圆轴的外径 $D$ 以及内径 $d$ 之间的关系满足 $d^2 = D^2 - d^2$。因此,空心圆轴的极惯性矩 $J_2$ 大于实心圆轴的极惯性矩 $J_1$。
步骤 3:计算扭转角
由于 $J_2 > J_1$,根据扭转角公式 $\varphi = \frac{Tl}{GJ}$,可以得出 $\varphi_1 > \varphi_2$。