题目
1682年，英国的天文学家哈雷发现一颗彗星描绘的曲线和1531年，1607年的彗星惊人地相似，便大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间.
1682年，英国的天文学家哈雷发现一颗彗星描绘的曲线和1531年，1607年的彗星惊人地相似，便大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间.
题目解答
答案
解：由题意，哈雷彗星出现的年份构成一个以1531为首项，公差为76的等差数列.
设该数列为{an}，
a1=1531，d=76，
∴an=1531+76(n-1)=1455+76n（n∈N+）.
| a1 | 1531 |
| a2 | 1607 |
| a3 | 1683 |
| a4 | 1759 |
| a5 | 1835 |
| …… | …… |
2000＜1455+76n＜2100，解得7.2＜n＜8.5，
故n=8，
则估计它在本世纪回归的时间为1455+76×8=2063年.
解析
步骤 1：确定等差数列的首项和公差
根据题目描述，哈雷彗星的回归时间构成一个等差数列，其中首项 \(a_1 = 1531\) 年，公差 \(d = 76\) 年。
步骤 2：写出等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)，代入已知值，得到 \(a_n = 1531 + 76(n-1)\)。
步骤 3：计算回归时间表
根据通项公式，可以计算出哈雷彗星的回归时间表：
- \(a_1 = 1531\) 年
- \(a_2 = 1607\) 年
- \(a_3 = 1683\) 年
- \(a_4 = 1759\) 年
- \(a_5 = 1835\) 年
- \(a_6 = 1911\) 年
- \(a_7 = 1987\) 年
- \(a_8 = 2063\) 年
步骤 4：预测本世纪回归时间
根据通项公式，计算出哈雷彗星在本世纪回归的时间为 \(a_8 = 2063\) 年。
根据题目描述，哈雷彗星的回归时间构成一个等差数列，其中首项 \(a_1 = 1531\) 年，公差 \(d = 76\) 年。
步骤 2：写出等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)，代入已知值，得到 \(a_n = 1531 + 76(n-1)\)。
步骤 3：计算回归时间表
根据通项公式，可以计算出哈雷彗星的回归时间表：
- \(a_1 = 1531\) 年
- \(a_2 = 1607\) 年
- \(a_3 = 1683\) 年
- \(a_4 = 1759\) 年
- \(a_5 = 1835\) 年
- \(a_6 = 1911\) 年
- \(a_7 = 1987\) 年
- \(a_8 = 2063\) 年
步骤 4：预测本世纪回归时间
根据通项公式，计算出哈雷彗星在本世纪回归的时间为 \(a_8 = 2063\) 年。