题目
悬臂梁AB由两根相同的矩形截面梁胶合而成。若胶合面全部开裂，假设开裂后两杆的弯曲变形相同，接触面之间无摩擦力，则开裂后梁的最大挠度是原来的：（ ）。A. 两者相同 B. 2倍 C. 4倍 D. 8倍
悬臂梁AB由两根相同的矩形截面梁胶合而成。若胶合面全部开裂，假设开裂后两杆的弯曲变形相同，接触面之间无摩擦力，则开裂后梁的最大挠度是原来的：（ ）。
A. 两者相同B. 2倍
C. 4倍
D. 8倍
题目解答
答案
C
解析过程：开裂前：惯性矩
，最大挠度
；
开裂后：一根梁的惯性矩
，
。
解析
步骤 1：计算开裂前梁的惯性矩
开裂前，梁由两根相同的矩形截面梁胶合而成，其截面宽度为b，高度为2a。因此，开裂前梁的惯性矩${I}_{1}$为：
${I}_{1}=\dfrac {b{(2a)}^{3}}{12}=8\dfrac {b{a}^{3}}{12}$
步骤 2：计算开裂前梁的最大挠度
开裂前梁的最大挠度${f}_{1}$为：
${f}_{1}=\dfrac {{F}^{3}}{3EI}=\dfrac {{F}^{3}}{3E\times 8\cdot \dfrac {b{a}^{3}}{12}}=\dfrac {1}{2}\times \dfrac {F{l}^{3}}{E\cdot b{a}^{3}}$
步骤 3：计算开裂后梁的惯性矩
开裂后，每根梁的截面宽度为b，高度为a。因此，开裂后每根梁的惯性矩${I}_{2}$为：
${I}_{2}=\dfrac {b{a}^{3}}{12}$
步骤 4：计算开裂后梁的最大挠度
开裂后梁的最大挠度${f}_{2}$为：
${f}_{2}=\dfrac {2}{3El}=\dfrac {\dfrac {F}{2}{l}^{3}}{3E\cdot \dfrac {b{a}^{3}}{12}}=2\times \dfrac {F{l}^{3}}{E\cdot b{a}^{3}}=4{f}_{1}$
开裂前，梁由两根相同的矩形截面梁胶合而成，其截面宽度为b，高度为2a。因此，开裂前梁的惯性矩${I}_{1}$为：
${I}_{1}=\dfrac {b{(2a)}^{3}}{12}=8\dfrac {b{a}^{3}}{12}$
步骤 2：计算开裂前梁的最大挠度
开裂前梁的最大挠度${f}_{1}$为：
${f}_{1}=\dfrac {{F}^{3}}{3EI}=\dfrac {{F}^{3}}{3E\times 8\cdot \dfrac {b{a}^{3}}{12}}=\dfrac {1}{2}\times \dfrac {F{l}^{3}}{E\cdot b{a}^{3}}$
步骤 3：计算开裂后梁的惯性矩
开裂后，每根梁的截面宽度为b，高度为a。因此，开裂后每根梁的惯性矩${I}_{2}$为：
${I}_{2}=\dfrac {b{a}^{3}}{12}$
步骤 4：计算开裂后梁的最大挠度
开裂后梁的最大挠度${f}_{2}$为：
${f}_{2}=\dfrac {2}{3El}=\dfrac {\dfrac {F}{2}{l}^{3}}{3E\cdot \dfrac {b{a}^{3}}{12}}=2\times \dfrac {F{l}^{3}}{E\cdot b{a}^{3}}=4{f}_{1}$