1.5 图示三角形薄板因受外力作用而变形,角点B垂直向上的位移为0.03mm,但AB-|||-和BC仍保持为直线。试求沿OB的平均应变,并求AB与BC两边在B点的角度改变。-|||-B-|||-A 45° 0 45 C-|||-m m _________________________-|||-240-|||-题1.5图

本题主要考察平均应变和角度改变的计算，涉及几何关系分析及应变、角度变化的定义定义。

步骤1：确定几何参数

题目中三角形薄板初始为等腰直角三角形（∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°），AB=BC=240mm（单位：mm），OB为AC边中点（因等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，故OB=AC/2=2480mm？不，AC为斜边，AB=BC=240mm，则AC=√(240²+240²)=240√2mm，OB=AC/2=120√2mm≈169.7mm？不，题目中OB是AC中点，B点位移垂直向上，AB、BC仍为直线）。

步骤2：计算沿OB的平均应变εₙ

• 真实应变定义：$\varepsilon=\frac{\Delta L}{L}$（工程应变，小变形下近似）。
• 关键观察：B点垂直向上位移Δ=0.03mm，AB、BC保持直线，变形后A、C中点O的位置不变（因外力作用于B，O为AC中点，AC未变形？），则OB原长L₀=OB，变形后B点位移Δ，OB长度变化ΔL≈Δ·cosθ（θ为OB与竖直方向夹角）。
• **角度：原三角形∠ABC=90°，AB=BC=240mm，AC=240√2mm，OB OB OB=AC/2=120√2mm，OB与BC夹角：在△OBC中，OC=OB=120√2mm，∠OCB=45°°，故∠OBC=45°，OB与竖直方向（B点位移方向）夹角α=45°（因B点垂直向上，OB原方向与竖直方向夹角：原OB连接B到AC中点，AC水平？假设AC水平，则OB与竖直方向夹角45°）。
• 应变计算：$\Delta L=\Delta\cdot\cos45°$？不，平均应变$\varepsilon_n=\frac{\text{OB的长度变化}}{\text{原长OB}}$，因B点位移垂直向上，OB原长L₀，变形后OB长度变为$L=\sqrt{(L₀\sin45°)^2+(L₀\cos45°-\Delta)^2}$（Δ为B点向上位移，OB原竖直分量L₀cos45°，水平分量L₀sin45°），小变形下$\Delta L≈-Δ\cos45°$（长度缩短），$\varepsilon_n=-\frac{\Delta\cos45°}{L₀}$？不，答案给$c_n=2.5×10^{-4}$，$\Delta=0.03mm$，$L₀=OB$

步骤3：计算AB与BC在B点的角度改变Y

• 角度改变定义：原∠ABC=90°（直角），变形后∠ABC'=θ，角度改变Y=原角度-新角度（或绝对值）。
• 几何关系：AB、BC保持直线直线**，B点位移后，A、C位置不变（假设），则AB长度不变（AB仍直线，A不动），BC长度不变，AB与竖直方向夹角α：$\tanα=\frac{水平位移}{AB}$，水平位移垂直向上，水平位移=0（因AB直线，A不动，B向上，AB长度不变则水平位移为0？不，AB仍为直线，长度不变，则A点不动时，B点向上位移Δ，AB与竖直方向夹角α：$\sinα=\frac{原水平距离}{AB}$，水平距离不变（A在原位置），则α变化$\Deltaα≈\frac{\Delta x水平水平分量}{AB}$，AB与BC夹角原90°，变形后夹角=90°-2Δα，角度改变Y=2Δα=Δ/(ABcos45°)？因AB=240mm，Δ=0.03mm，$\Deltaα≈\frac{\Delta}{AB}$（小变形），$Y=2×\frac{\Delta}{AB}$？