有一矩形底孔闸门，高 h=3(m)，宽 b=2(m)，上游水深 h_1=6(m)，下游水深 h_2=5(m)。试用图法及解析法求作用于闸门上的水静压力及作用点。

要解决矩形闸门的水静压力问题，需结合解析法和图解法分析上下游水压力的合力及作用点。

一、问题分析

闸门为矩形，高 $h = 3\,\text{m}$，宽 $b = 2\,\text{m}$；上游水深 $h_1 = 6\,\text{m}$，下游水深 $h_2 = 5\,\text{m}$。由于上下游水深不同，闸门两侧受水压力，需分别计算两侧压力后求合力（上游压力大于下游，合力指向下游），并确定合力作用点。

二、解析法求解

1. 基本公式回顾

水静压力解析法公式：
$P = \rho g h_c A$
其中：

• $\rho = 1000\,\text{kg/m}^3$（水的密度），$g = 9.8\,\text{m/s}^2$（重力加速度）；
• $h_c$ 为受压面形心到自由液面的深度；
• $A$ 为受压面面积。

合力作用点（压强中心）需通过压力对某轴的力矩等于各分力对同轴力矩之和确定。

2. 上游水压力 $P_1$

上游水对闸门的压力：

• 闸门顶部到上游自由液面的深度：$h_1 - h = 6 - 3 = 3\,\text{m}$；
• 闸门底部到上游自由液面的深度：$h_1 = 6\,\text{m}$；
• 形心深度 $h_{c1}$：矩形形心在几何中心，故 $h_{c1} = (h_1 - h) + \frac{h}{2} = 3 + 1.5 = 4.5\,\text{m}$；
• 受压面积 $A = h \cdot b = 3 \times 2 = 6\,\text{m}^2$；
• 压力 $P_1 = \rho g h_{c1} A = 1000 \times 9.8 \times 4.5 \times 6 = 264600\,\text{N} = 264.6\,\text{kN}$。

3. 下游水压力 $P_2$

下游水对闸门的压力：

• 闸门顶部到下游自由液面的深度：$h_2 - h = 5 - 3 = 2\,\text{m}$；
• 闸门底部到下游自由液面的深度：$h_2 = 5\,\text{m}$；
• 形心深度 $h_{c2} = (h_2 - h) + \frac{h}{2} = 2 + 1.5 = 3.5\,\text{m}$；
• 受压面积 $A = 6\,\text{m}^2$（同上游）；
• 压力 $P_2 = \rho g h_{c2} A = 1000 \times 9.8 \times 3.5 \times 6 = 205800\,\text{N} = 205.8\,\text{kN}$。

4. 合力 $P$ 及作用点

合力为上下游压力之差（上游压力更大，合力指向下游）：
$P = P_1 - P_2 = 264.6 - 205.8 = 58.8\,\text{kN}$

合力作用点需通过压力分布的合力矩确定。由于上下游压力分布的“压强差”为常数（$\rho g (h_1 - h_2) = 9800\,\text{Pa}$），合力的压强分布为矩形（上下边压强差相等），因此合力作用点在闸门高度中点（矩形压强分布的合力作用点为几何中心），即距离闸门顶部 $\frac{h}{2} = 1.5\,\text{m}$ 处。

三、图解法求解

1. 压强分布图分析

水静压力的图解法核心是：压力大小等于压强分布图的面积乘以闸门宽度 $b$，作用点为压强分布图的形心。

• 上游压强分布：闸门顶部压强 $p_{1\text{上}} = \rho g (h_1 - h) = 1000 \times 9.8 \times 3 = 29400\,\text{Pa}$，底部压强 $p_{1\text{下}} = \rho g h_1 = 1000 \times 9.8 \times 6 = 58800\,\text{Pa}$，分布为梯形。
• 下游压强分布：闸门顶部压强 $p_{2\text{上}} = \rho g (h_2 - h) = 1000 \times 9.8 \times 2 = 19600\,\text{Pa}$，底部压强 $p_{2\text{下}} = \rho g h_2 = 1000 \times 9.8 \times 5 = 49000\,\text{Pa}$，分布为梯形。

合力的压强分布为“上游梯形 - 下游梯形”，由于上下游梯形的“上下底差”相等（$58800 - 29400 = 49000 - 19600 = 29400\,\text{Pa}$），相减后得到矩形压强分布（上下边压强差均为 $9800\,\text{Pa}$）。

2. 合力计算

矩形压强分布的面积为 $\text{压强差} \times \text{闸门高度}$，因此合力：
$P = (\text{压强差}) \times h \times b = 9800 \times 3 \times 2 = 58800\,\text{N} = 58.8\,\text{kN}$

3. 作用点确定

矩形压强分布的形心在几何中心，即闸门高度的中点，因此合力作用点距离闸门顶部 $\frac{h}{2} = 1.5\,\text{m}$ 处。

四、最终结论

• 作用于闸门上的水静压力合力为 $\boldsymbol{58.8\,\text{kN}}$，方向指向下游；
• 合力作用点位于闸门高度中点，即距离闸门顶部 $\boldsymbol{1.5\,\text{m}}$ 处（或距离底部 $1.5\,\text{m}$ 处）。

（注：解析法与图解法结果一致，合力大小为 $58.8\,\text{kN}$，作用点在闸门中点。）