某传动轴所承受的扭矩T=200Nm，轴的直径d=40mm，材料的[τ]=40MPa，剪切弹性模量G=80GPa，许可单位长度转角[φ/]=1 ⁰/m。试校核轴的强度和刚度。

考查要点：本题主要考查圆轴扭转时的强度校核和刚度校核，涉及剪应力公式和单位长度转角公式的应用。

解题核心思路：

1. 强度校核：计算最大剪应力 $\tau_{\text{max}}$，并与许用剪应力 $[\tau]$ 比较；
2. 刚度校核：计算单位长度转角 $\varphi'$，并与许可转角 $[\varphi']$ 比较。

破题关键点：

• 公式选择：强度用 $\tau_{\text{max}} = \dfrac{16T}{\pi d^3}$，刚度用 $\varphi' = \dfrac{32T}{G\pi d^4} \cdot \dfrac{180}{\pi}$；
• 单位统一：直径 $d$ 需从毫米转换为米，剪切弹性模量 $G$ 从 GPa 转换为 Pa。

(1) 强度校核

计算最大剪应力

根据圆轴扭转剪应力公式：
$\tau_{\text{max}} = \dfrac{16T}{\pi d^3}$
代入已知条件：

• 扭矩 $T = 200 \, \text{Nm}$；
• 直径 $d = 40 \, \text{mm} = 0.04 \, \text{m}$。

$\tau_{\text{max}} = \dfrac{16 \times 200}{\pi \times (0.04)^3} \approx \dfrac{3200}{\pi \times 0.000064} \approx 15.92 \, \text{MPa}$

比较许用剪应力

计算结果 $\tau_{\text{max}} = 15.92 \, \text{MPa} < [\tau] = 40 \, \text{MPa}$，满足强度条件。

(2) 刚度校核

计算单位长度转角

根据转角公式：
$\varphi' = \dfrac{T}{G I_p} \cdot \dfrac{180}{\pi}$
其中极惯性矩 $I_p = \dfrac{\pi d^4}{32}$，代入得：
$\varphi' = \dfrac{32T}{G \pi d^4} \cdot \dfrac{180}{\pi}$
代入已知条件：

• 剪切弹性模量 $G = 80 \, \text{GPa} = 80 \times 10^9 \, \text{Pa}$；
• 直径 $d = 0.04 \, \text{m}$。

$\varphi' = \dfrac{32 \times 200}{80 \times 10^9 \times \pi \times (0.04)^4} \cdot \dfrac{180}{\pi} \approx 0.57^\circ/\text{m}$

比较许可转角

计算结果 $\varphi' = 0.57^\circ/\text{m} < [\varphi'] = 1^\circ/\text{m}$，满足刚度条件。