题目

平面应力状态中切应力极值所在平面与主平面的夹角（ ）。

平面应力状态中切应力极值所在平面与主平面的夹角（    ）。

题目解答

答案

解：在平面应力状态中，切应力极值所在平面与主平面的夹角取决于具体的应力情况。一般情况下，切应力极值所在平面与主平面的夹角为。这是由于在平面应力状态下，切应力τ的取值是在主应力和所对应的主应力方向上取得最大和最小值的。而在一般情况下，主应力方向与主平面相互垂直，因此切应力极值所在平面与主平面的夹角为。然而，如果存在特殊情况，如非均匀应力分布或者特定的边界条件，切应力极值所在平面与主平面的夹角可能会有一些变化。

故：填

解析

考查要点：本题主要考查平面应力状态下切应力极值方向与主平面夹角的关系，需要结合应力莫尔圆理论进行分析。

解题核心思路：

  1. 主平面是切应力为零的平面，其方向由主应力确定。
  2. 切应力极值出现在主平面的平分线上，即与主平面夹角为45°。
  3. 通过莫尔圆几何关系可直观理解：最大切应力对应圆周的最高点和最低点，此时方向与主平面夹角为45°。

破题关键点：

  • 明确主平面与切应力极值平面的几何关系。
  • 利用莫尔圆中正应力与切应力的几何对应关系推导角度。

在平面应力状态下，主平面是切应力为零的平面，其方向由主应力 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 确定。根据莫尔圆理论：

  1. 莫尔圆方程：
    $\tau = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} \sin(2\theta)$
    其中 $\theta$ 是平面方位角。
  2. 切应力极值条件：
    当 $\sin(2\theta) = \pm 1$ 时，切应力取得极值，此时 $2\theta = \pm 90^\circ$，即 $\theta = \pm 45^\circ$。
  3. 几何关系：
    切应力极值平面与主平面的夹角为 $45^\circ$，因为主平面方向对应 $\theta = 0^\circ$ 或 $90^\circ$，而极值方向在此基础上偏转 $45^\circ$。