1.6 计算图示半圆形对形心轴yc的惯性矩。-|||-yc-|||-0-|||-y-|||-d-|||-题1.6图

考查要点：本题主要考查半圆形截面对其形心轴的惯性矩计算，涉及惯性矩的定义、平行轴定理的应用，以及对半圆形截面几何性质的理解。

解题核心思路：

1. 确定半圆关于直径的惯性矩：利用已知公式或积分法计算半圆对其直径的惯性矩。
2. 计算形心位置：半圆形心沿垂直于直径方向的距离为 $\frac{4R}{3\pi}$。
3. 应用平行轴定理：将惯性矩从直径轴转换到形心轴。

破题关键点：

• 正确应用平行轴定理，注意形心到直径轴的距离。
• 代入直径 $d$ 与半径 $R$ 的关系（$R = \frac{d}{2}$），最终结果用 $d$ 表示。

1. 计算半圆关于直径的惯性矩 $I_x$

半圆的面积为 $A = \frac{1}{2} \pi R^2$，关于直径的惯性矩公式为：
$I_x = \frac{\pi R^4}{8}$

2. 确定形心位置

半圆形截面的形心沿垂直于直径方向的距离为：
$d = \frac{4R}{3\pi}$

3. 应用平行轴定理

形心轴 $y_c$ 与直径轴的距离为 $d$，根据平行轴定理：
$I_{y_c} = I_x - A d^2$

4. 代入公式并化简

将 $R = \frac{d}{2}$ 代入：
$I_{y_c} = \frac{\pi \left(\frac{d}{2}\right)^4}{8} - \left(\frac{1}{2} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2\right) \left(\frac{4 \cdot \frac{d}{2}}{3\pi}\right)^2$

化简过程：

1. 第一项：
   $\frac{\pi \left(\frac{d}{2}\right)^4}{8} = \frac{\pi d^4}{128}$

2. 第二项：
   $\left(\frac{1}{2} \pi \frac{d^2}{4}\right) \cdot \left(\frac{2d}{3\pi}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{8} \cdot \frac{4d^2}{9\pi^2} = \frac{d^4}{18\pi}$

3. 合并结果：
   $I_{y_c} = \frac{\pi d^4}{128} - \frac{d^4}{18\pi} = d^4 \left(\frac{\pi}{128} - \frac{1}{18\pi}\right)$

4. 数值计算：
   $\frac{\pi}{128} \approx 0.0245, \quad \frac{1}{18\pi} \approx 0.0177, \quad 0.0245 - 0.0177 = 0.0068$

最终结果为：
$I_{y_c} \approx 0.00686 d^4$