题目

1molH2(可视为理想气体)从298K、100kPa在终态压力下经绝热恒外压膨胀至10kPa,求此过程的W、1molH2和1molH2

$1molH_2$ (可视为理想气体)从298K、100kPa在终态压力下经绝热恒外压膨胀至10kPa,求此过程的W、 $\triangle U$ 和 $\triangle H$

题目解答

答案

对于绝热过程 Q = 0

理想气体绝热过程方程： $p_1V_1^{\gamma}=p_2V_2^{\gamma}$

对于双原子理想气体 $H_2，\gamma=1.4$

已知 $p_1=100kPa，p_2=10kPa$

$\begin{align*} V_1^\gamma&=\frac{p_2}{p_1}V_2^\gamma\\ V_2&=V_1(\frac{p_1}{p_2})^{\frac{1}{\gamma}} \end{align*}$

$\begin{align*} W&=-p_{外}(V_2 - V_1)\\ &=-p_{外}(V_1(\frac{p_1}{p_2})^{\frac{1}{\gamma}} - V_1)\\ &=-p_{外}V_1((\frac{p_1}{p_2})^{\frac{1}{\gamma}} - 1) \end{align*}$

由理想气体状态方程 $p_1V_1=nRT_1$ ，可得 $V_1=\frac{nRT_1}{p_1}$ ，代入上式

$\begin{align*} W&=-p_{外}\frac{nRT_1}{p_1}((\frac{p_1}{p_2})^{\frac{1}{\gamma}} - 1)\\ &=-10\times 10^3\times\frac{1\times 8.314\times 298}{100\times 10^3}((\frac{100}{10})^{\frac{1}{1.4}} - 1)\\ \end{align*}$

$\Delta U=W$

$\Delta H=\frac{7}{5}\Delta U$ .

解析

步骤 1：确定绝热过程的性质
绝热过程意味着没有热量交换，即 Q = 0。对于理想气体，绝热过程遵循方程 ${P}_{1}{V}_{1}^{\gamma}={P}_{2}{V}_{2}^{\gamma}$，其中 $\gamma$ 是比热容比，对于双原子理想气体 ${H}_{2}$，$\gamma = 1.4$。

步骤 2：计算体积变化
已知 ${P}_{1}=100kPa$，${P}_{2}=10kPa$，根据绝热过程方程，可以求出体积变化。首先，利用理想气体状态方程 ${P}_{1}{V}_{1}=nR{T}_{1}$，求出初始体积 ${V}_{1}$。然后，利用绝热过程方程求出终态体积 ${V}_{2}$。

步骤 3：计算功
对于恒外压过程，功的计算公式为 $W=-{P}_{外}({V}_{2}-{V}_{1})$。其中，${P}_{外}$ 是终态压力，即 ${P}_{2}=10kPa$。将 ${V}_{1}$ 和 ${V}_{2}$ 代入公式计算功。

步骤 4：计算内能变化
对于理想气体，内能变化 $\Delta U$ 可以通过 $\Delta U=nC_{V}\Delta T$ 计算，其中 $C_{V}$ 是摩尔定容热容，对于双原子理想气体 ${H}_{2}$，$C_{V}=\dfrac {5}{2}R$。由于绝热过程，$\Delta U=-W$。

步骤 5：计算焓变
焓变 $\Delta H$ 可以通过 $\Delta H=nC_{P}\Delta T$ 计算，其中 $C_{P}$ 是摩尔定压热容，对于双原子理想气体 ${H}_{2}$，$C_{P}=\dfrac {7}{2}R$。由于 $\Delta H=\Delta U+P\Delta V$，可以利用 $\Delta U$ 和体积变化计算 $\Delta H$。