题目
(12分)图示等直圆杆,已知外力偶矩MA = 3 kN·m,MB = 7 kN·m,MC = 4 kN·m,许应切应力[τ]= 70 MPa,许可单位长度扭转角[φ]=1(°)/m,切变模量G = 80 GPa。试确定该轴的直径d。
(12分)图示等直圆杆,已知外力偶矩MA = 3 kN·m,MB = 7 kN·m,MC = 4 kN·m,许应切应力[τ]= 70 MPa,许可单位长度扭转角[φ]=1(°)/m,切变模量G = 80 GPa。试确定该轴的直径d。
题目解答
答案
解:
解:利用截面法画出扭矩图
满足强度要求:
满足刚度要求:
二者取大者
解析
步骤 1：计算各段扭矩
根据外力偶矩，计算各段的扭矩。MA = 3 kN·m, MB = 7 kN·m, MC = 4 kN·m。在A、B、C点处，扭矩分别为：
- AB段：T1 = MA = 3 kN·m
- BC段：T2 = MB - MA = 7 kN·m - 3 kN·m = 4 kN·m
- CD段：T3 = MC - MB = 4 kN·m - 7 kN·m = -3 kN·m
步骤 2：计算最大扭矩
最大扭矩为T2 = 4 kN·m。
步骤 3：计算直径以满足强度要求
根据强度条件，最大扭矩T2 = 4 kN·m，许用切应力[τ] = 70 MPa，计算直径d。
\[ T_{max} = \frac{16T_{max}}{\pi d^3} \leq [τ] \]
\[ d \geq \sqrt[3]{\frac{16T_{max}}{\pi [τ]}} \]
\[ d \geq \sqrt[3]{\frac{16 \times 4 \times 10^6}{\pi \times 70 \times 10^6}} \]
\[ d \geq \sqrt[3]{\frac{64 \times 10^6}{70 \pi \times 10^6}} \]
\[ d \geq \sqrt[3]{\frac{64}{70 \pi}} \times 10^3 \]
\[ d \geq \sqrt[3]{0.292} \times 10^3 \]
\[ d \geq 0.663 \times 10^3 \]
\[ d \geq 66.3 \text{ mm} \]
步骤 4：计算直径以满足刚度要求
根据刚度条件，最大扭矩T2 = 4 kN·m，许可单位长度扭转角[φ] = 1(°)/m，切变模量G = 80 GPa，计算直径d。
\[ \phi_{max} = \frac{T_{max} \times l}{G \times J} \leq [φ] \]
\[ J = \frac{\pi d^4}{32} \]
\[ \phi_{max} = \frac{T_{max} \times l}{G \times \frac{\pi d^4}{32}} \leq [φ] \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{32T_{max} \times l}{G \times \pi \times [φ]}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{32 \times 4 \times 10^6 \times 1}{80 \times 10^9 \times \pi \times 1}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{128 \times 10^6}{80 \times 10^9 \times \pi}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{128}{80 \times 10^3 \times \pi}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{128}{251327.41228718345}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{0.000509} \]
\[ d \geq 0.084 \times 10^3 \]
\[ d \geq 84 \text{ mm} \]
步骤 5：确定最终直径
取强度和刚度要求中较大的直径值，即d = 84 mm。
根据外力偶矩，计算各段的扭矩。MA = 3 kN·m, MB = 7 kN·m, MC = 4 kN·m。在A、B、C点处，扭矩分别为：
- AB段：T1 = MA = 3 kN·m
- BC段：T2 = MB - MA = 7 kN·m - 3 kN·m = 4 kN·m
- CD段：T3 = MC - MB = 4 kN·m - 7 kN·m = -3 kN·m
步骤 2：计算最大扭矩
最大扭矩为T2 = 4 kN·m。
步骤 3：计算直径以满足强度要求
根据强度条件，最大扭矩T2 = 4 kN·m，许用切应力[τ] = 70 MPa，计算直径d。
\[ T_{max} = \frac{16T_{max}}{\pi d^3} \leq [τ] \]
\[ d \geq \sqrt[3]{\frac{16T_{max}}{\pi [τ]}} \]
\[ d \geq \sqrt[3]{\frac{16 \times 4 \times 10^6}{\pi \times 70 \times 10^6}} \]
\[ d \geq \sqrt[3]{\frac{64 \times 10^6}{70 \pi \times 10^6}} \]
\[ d \geq \sqrt[3]{\frac{64}{70 \pi}} \times 10^3 \]
\[ d \geq \sqrt[3]{0.292} \times 10^3 \]
\[ d \geq 0.663 \times 10^3 \]
\[ d \geq 66.3 \text{ mm} \]
步骤 4：计算直径以满足刚度要求
根据刚度条件，最大扭矩T2 = 4 kN·m，许可单位长度扭转角[φ] = 1(°)/m，切变模量G = 80 GPa，计算直径d。
\[ \phi_{max} = \frac{T_{max} \times l}{G \times J} \leq [φ] \]
\[ J = \frac{\pi d^4}{32} \]
\[ \phi_{max} = \frac{T_{max} \times l}{G \times \frac{\pi d^4}{32}} \leq [φ] \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{32T_{max} \times l}{G \times \pi \times [φ]}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{32 \times 4 \times 10^6 \times 1}{80 \times 10^9 \times \pi \times 1}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{128 \times 10^6}{80 \times 10^9 \times \pi}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{128}{80 \times 10^3 \times \pi}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{\frac{128}{251327.41228718345}} \]
\[ d \geq \sqrt[4]{0.000509} \]
\[ d \geq 0.084 \times 10^3 \]
\[ d \geq 84 \text{ mm} \]
步骤 5：确定最终直径
取强度和刚度要求中较大的直径值，即d = 84 mm。