如图用离心泵将20℃的水由敞口水池送到一表压为2.5atm的塔内,管径为φ108×4mm管路全长100m(包括局部阻力的当量长度,管的进、出口当量长度也包括在内)。已知: 水的流量为56.5m3·h-1,水的粘度为1厘泊,密度为1000kg·m-3,管路摩擦系数可取为0.024,计算并回答:(1)水在管内流动时的流动形态;(2) 管路所需要的压头和有效功率;图2-1

考查要点：本题主要考查流体力学中的流动形态判断及管路压头和功率的计算，涉及雷诺数、伯努利方程的应用以及摩擦损失的计算。

解题核心思路：

1. 流动形态判断：通过计算雷诺数（Re）判断流动状态。若Re > 4000，则为湍流；反之为层流。
2. 压头计算：利用伯努利方程，结合高度差、压强差及摩擦损失确定总压头。
3. 有效功率计算：根据流量、压头及流体密度计算泵的有效功率。

破题关键点：

• 流速计算：由体积流量和管径计算流速。
• 雷诺数公式：正确代入参数判断流动状态。
• 伯努利方程应用：明确各能量项的物理意义，注意压强差转换为水头形式。
• 摩擦损失公式：正确使用当量长度计算总摩擦损失。

第（1）题：流动形态判断

计算流速

管内径 $d = 108\,\text{mm} - 2 \times 4\,\text{mm} = 100\,\text{mm} = 0.1\,\text{m}$，横截面积：
$A = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4} \times 0.1^2 = 0.00785\,\text{m}^2$
体积流量 $Q = 56.5\,\text{m}^3/\text{h} = \frac{56.5}{3600} \approx 0.0157\,\text{m}^3/\text{s}$，流速：
$u = \frac{Q}{A} = \frac{0.0157}{0.00785} \approx 2\,\text{m/s}$

计算雷诺数

水的密度 $\rho = 1000\,\text{kg}/\text{m}^3$，动力粘度 $\mu = 1\,\text{厘泊} = 0.001\,\text{Pa} \cdot \text{s}$，雷诺数：
$\text{Re} = \frac{d u \rho}{\mu} = \frac{0.1 \times 2 \times 1000}{0.001} = 2 \times 10^5 > 4000$
结论：流动呈湍流。

第（2）题：压头和有效功率计算

伯努利方程应用

以水池液面为基准面，塔内高度 $Z_2 = 18\,\text{m}$，压强 $p_2 = 2.5\,\text{atm}$。压强差对应的水头：
$\frac{p_2}{\rho g} = \frac{2.5 \times 9.81 \times 10^4}{1000 \times 9.81} = 25\,\text{m}$

摩擦损失计算

摩擦系数 $\lambda = 0.024$，当量总长度 $L = 100\,\text{m}$，摩擦损失：
$\sum H_f = \lambda \frac{L}{d} \frac{u^2}{2g} = 0.024 \times \frac{100}{0.1} \times \frac{2^2}{2 \times 9.81} \approx 4.9\,\text{m}$

总压头计算

总压头 $H$ 包括高度差、压强差及摩擦损失：
$H = Z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \sum H_f = 18 + 25 + 4.9 = 47.9\,\text{m}$

有效功率计算

有效功率：
$N_e = \frac{Q \rho g H}{3600} = \frac{56.5 \times 1000 \times 9.81 \times 47.9}{3600} \approx 7.4\,\text{kW}$