题目

设有 300 , (K) 的 1 , (mol) 理想气体作等温膨胀，起始压力为 15p^ominus，终态体积为 10 , (dm)^3。试计算该气体的 Delta U，Delta H，Delta A，Delta S 和 Delta G。

设有 $300 \, \text{K}$ 的 $1 \, \text{mol}$ 理想气体作等温膨胀，起始压力为 $15p^{\ominus}$，终态体积为 $10 \, \text{dm}^3$。 试计算该气体的 $\Delta U$，$\Delta H$，$\Delta A$，$\Delta S$ 和 $\Delta G$。

题目解答

答案

根据题意，初态体积 $V_1 = \frac{nRT}{p_1} = \frac{1 \times 8.314 \times 300}{1.5 \times 10^6} = 1.6628 \, \text{dm}^3$。 终态体积 $V_2 = 10 \, \text{dm}^3$，故 $\frac{V_2}{V_1} \approx 6.015$。 \[ \Delta S = nR \ln \frac{V_2}{V_1} = 8.314 \times 1.793 \approx 14.9 \, \text{J/K} \] \[ \Delta U = 0, \quad \Delta H = 0 \] \[ \Delta A = \Delta G = -T \Delta S = -300 \times 14.9 = -4470 \, \text{J/mol} = -4.47 \, \text{kJ/mol} \] 最终结果： \[ \Delta U = 0, \quad \Delta H = 0, \quad \Delta S \approx 14.9 \, \text{J/K}, \quad \Delta A \approx -4.47 \, \text{kJ/mol}, \quad \Delta G \approx -4.47 \, \text{kJ/mol} \]

解析

本题考查理想气体等温膨胀过程中热力学函数变的计算，解题思路是先根据理想气体状态方程求出初态体积，再利用理想气体等温过程的相关公式分别计算各热力学函数变。

  1. 计算初态体积 $V_1$：
    • 已知理想气体状态方程为 $pV = nRT$，变形可得 $V=\frac{nRT}{p}$。
    • 已知 $n = 1\ mol$，$R = 8.314\ J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$，$T = 300\ K$，$p_1 = 15p^{\ominus}=15\times10^5\ Pa = 1.5\times10^6\ Pa$。
    • 代入数据可得 $V_1=\frac{nRT}{p_1}=\frac{1\times8.314\times300}{1.5\times10^6}=10^{-3}\ m^3}=1.6628\times10^{-3}\ m^3 = 1.6628\ dm^3$。
  2. 计算体积比 $\frac{V_2}{V_1}$：
    • 已知 $V_2 = 10\ dm^3$，则 $\frac{V_2}{V_1}=\frac{10.01}{1.6628\times10^{-3}}\approx6.015$。
  3. 计算 $\(\Delta S$)：
    • 对于理想气体的等温过程，熵变公式为 $\Delta S = nR\ln\frac{V_2}{V_1}$。
    • 代入 $n = 1\ mol$，$R = 8.314\ J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}$，$\ln\frac{V_2}{V_1}=\ln6.015\approx1.793$。
    • 可得 $\Delta S = 1\times8.314\times1.793\approx14.9\ J\cdot K^{-1}$。
  4. 计算($\Delta U$U)和($\Delta H$)：
    • 对于理想气体，内能 $U$ 和焓 $H$只是温度的函数，即 $U = f(T)$，$H = f(T)$。
    • 因为是等温过程，$\Delta T = 0$，所以 $\Delta U = 0$，$\Delta H = 0$。
  5. 计算($\Delta A$)和($\Delta G$)：
    • 亥姆霍兹自由能变 $\(\Delta A$)和吉布斯自由能变($\Delta G$)的定义式分别为 $\Delta A=\Delta U - T\Delta(TS)$，$\Delta G=\Delta H-\Delta(TS)$。
    • 等温过程中 $\Delta(TS = T\Delta S$，又因为 $\Delta U = 0$，$\Delta H = 0$。
    • 所以 $\Delta A=\Delta G=-T\Delta S$。
    • 代入 $T = 300\ K$，$\Delta S = 14.9\ J\cdot K^{-1}$，可得 $\Delta A=\Delta G=-300\times14.9=-4470\ J\cdot mol^{-1}=-4.47\ kJ\cdot mol^{-1}$。