15图2-2-20所示的拉杆沿斜截面m-m由两部分胶合而成。设在胶合面上许用拉应力]=100MPa,许用切应力]=50MPa。并设杆件的拉力由胶合面的强度控制。试问为使杆件承受最大拉力F,α角的值应为多少?若杆件横截面面积为400mm2,并规定α≤60°,试确定许可载荷F。F图2-2-20

考查要点：本题主要考查轴向拉伸杆件斜截面上的正应力和切应力计算，以及如何通过联立方程确定临界角度α，进而求解最大拉力和许可载荷。

解题核心思路：

1. 斜截面应力公式：明确斜截面α处的正应力σα和切应力τα的表达式。
2. 联立方程：当正应力和切应力同时达到许用值时，拉力F最大，联立方程求解α。
3. 许可载荷计算：根据角度限制条件，判断应力控制因素，计算对应的许可载荷。

破题关键点：

• 应力公式推导：正确写出σα和τα的表达式。
• 角度关系：通过联立方程得到tanα的值，确定α。
• 角度限制分析：当α受限时，需判断应力控制因素，避免超载。

步骤1：写出斜截面应力公式

• 正应力：$\sigma_\alpha = \frac{F \cos^2 \alpha}{A}$
• 切应力：$\tau_\alpha = \frac{F \sin \alpha \cos \alpha}{A}$

步骤2：联立方程求角度α

当$\sigma_\alpha = [\sigma] = 100 \, \text{MPa}$，$\tau_\alpha = [\tau] = 50 \, \text{MPa}$时，联立：
$\frac{F \cos^2 \alpha}{A} = 100, \quad \frac{F \sin \alpha \cos \alpha}{A} = 50$
消去F得：
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{50}{100} \implies \tan \alpha = 0.5 \implies \alpha = \arctan(0.5) \approx 26.6^\circ$

步骤3：计算最大拉力Fmax

将$\alpha = 26.6^\circ$代入$\sigma_\alpha$公式：
$F_{\text{max}} = \frac{A \cdot [\sigma]}{\cos^2 \alpha} = \frac{400 \cdot 100}{\cos^2 26.6^\circ} \approx 50 \, \text{kN}$

步骤4：角度受限时的许可载荷

当$\alpha \leq 60^\circ$时，需判断应力控制因素：

• 若$\alpha = 60^\circ$，计算$\tau_\alpha$：
  $\tau_{60^\circ} = \frac{F \cdot \sin 60^\circ \cos 60^\circ}{400} = \frac{F \cdot 0.433}{400}$
  令$\tau_{60^\circ} = 50 \, \text{MPa}$，得：
  $F = \frac{50 \cdot 400}{0.433} \approx 46.2 \, \text{kN}$