题目

五、综合题（每小题10，共30分。请将答案写在下面）1.已知下列字符A、B、C、D、E、F的权值分别为6、7、1、5、2、8。①按照权值左子树小于右子树的规则构造哈夫曼树[1]；②为这6个字母设计哈夫曼编码[2]；③计算该哈夫曼树的带权路径长度WPL。

五、综合题（每小题10，共30分。请将答案写在下面） 1.已知下列字符A、B、C、D、E、F的权值分别为6、7、1、5、2、8。 ①按照权值左子树小于右子树的规则构造哈夫曼树[1]； ②为这6个字母设计哈夫曼编码[2]； ③计算该哈夫曼树的带权路径长度WPL。

题目解答

答案

问题解析

1. 构造哈夫曼树

哈夫曼树是一种二叉树[3]，其特点是带权路径长度（WPL）最小。构造哈夫曼树的步骤如下：

  1. 初始化：将所有字符及其权值作为单独的节点。
  2. 选择最小权值节点：从所有节点中选择权值最小的两个节点。
  3. 合并节点：将这两个节点合并为一个新的节点，新节点的权值为这两个节点权值之和。
  4. 重复步骤2和3：直到所有节点合并为一个根节点。

2. 设计哈夫曼编码

哈夫曼编码是根据哈夫曼树生成的前缀编码，左子树通常用0表示，右子树用1表示。

3. 计算带权路径长度WPL

带权路径长度（WPL）是所有叶子节点的权值与其到根节点的路径长度的乘积之和。

解题步骤

1. 构造哈夫曼树

  1. 初始化：

    • 节点：A(6), B(7), C(1), D(5), E(2), F(8)

  2. 选择最小权值节点：

    • 第一次：选择C(1)和E(2)，合并为新节点(3)
    • 第二次：选择D(5)和新节点(3)，合并为新节点(8)
    • 第三次：选择A(6)和新节点(8)，合并为新节点(14)
    • 第四次：选择B(7)和F(8)，合并为新节点(15)
    • 第五次：选择新节点(14)和新节点(15)，合并为根节点(29)

  3. 构造哈夫曼树：

        29
   /  \
 14    15
/  \  /  \
6   8 7   8
/ \     / \
3   5   1   2

2. 设计哈夫曼编码

根据哈夫曼树，从根节点到每个叶子节点的路径可以生成哈夫曼编码：

  • A: 00
  • B: 10
  • C: 0100
  • D: 0101
  • E: 011
  • F: 11

3. 计算带权路径长度WPL

WPL = (6 2) + (7 2) + (1 4) + (5 3) + (2 3) + (8 2)
= 12 + 14 + 4 + 15 + 6 + 16
= 67

最终答案

  1. 哈夫曼树：

        29
   /  \
 14    15
/  \  /  \
6   8 7   8
/ \     / \
3   5   1   2

  2. 哈夫曼编码：

    • A: 00
    • B: 10
    • C: 0100
    • D: 0101
    • E: 011
    • F: 11

  3. 带权路径长度WPL：

    • WPL = 67

注意

在实际构造哈夫曼树时，如果权值相同的节点可以选择任意一个进行合并，因此哈夫曼树的形状可能有所不同，但WPL应该是相同的。

解析

本题主要考查哈夫曼树的构造、哈夫曼编码的设计以及带权路径长度（WPL）的计算计算。解题思路如下：

  1. 构造哈夫曼树：
    • 初始化：将所有字符及其权值作为单独的节点。
    • 选择最小权值节点：从所有节点中选择权值值最小的两个节点。
    • 合并节点：将这两个节点合并为一个新的节点，新节点的权值为这两个节点权值之和。
    • 重复上述选择和合并步骤，直到所有节点合并为一个根节点。
  2. 设计哈夫曼编码：根据构造好的哈夫曼树，规定左子树用0表示，右子树用1表示，从根节点到每个叶子节点的路径即为该叶子节点对应字符的哈夫曼编码。
  3. 计算带权路径长度WPL：带权路径长度（WPL）是所有叶子节点的权值与其到根节点的路径长度的乘积之和，公式为$WPL=\sum_{i = 1}^{n}w_{i}l_{i}$，其中$w_{i}$是第$i$个叶子节点的权值，$l_{i}$是第$i$个叶子节点到根节点的路径长度。

下面进行详细的解答：

  1. 构造哈夫曼树：
    • 初始化：节点为$A(6)$、\(7)、(1)、(5)、(2)、(8)。 - 第一次：选择权值最小的$C(1)$和\E(2))，合并为新节点$N_1(3)$。
    • 第二次：从剩余节点$A(6)$、$B(7)$、$D(5)$、$N_1(3)$、$F(8)$中，选择$D(5)$和$N_1(3)$ )，合并为新节点$N_2(8)$。
    • 第三次：从剩余节点$A(6)$、$B(7)$、$N_2(8)$、$F(8)$中，选择$6)和\(N_2(8)$，合并为新节点$N_3(14)$。
    • 第四次：从剩余节点$B(7)$、$F(8)$、$N_3(14)$中，选择$B(7)$和$F(8)$，合并为新节点$N_4(15)$ )。
    • 第五次：选择$N_3(14)$和$N_4(15)$ )，合并为根节点$N_5(29)$。
      构造的哈夫曼树结构如下：
      29
/  \
14   15
/ \  / \
6  8  7  8
/ \
3   5
/ \
1   2
  2. **设计哈夫曼编码：
    • $A$：从根节点到$A$的路径为左 - 左，编码为$00$。
    • $B$：从根节点到$B$的路径为右 - 左，编码$10$。
    • $C$：从根节点到$C$的路径为左 - 右 - 左 - 左，编码$0100$。
    • $D$：从根节点到$D$的路径为左 - 右 - 左，编码$0101$。
    • $E$：从根节点到$E$的路径为左 - 右 - 右，编码$011$。
    • $F：从根节点到\(F$的路径为右 - 右，编码$11$。
      3.计算带权路径长度WPL：
    • $A$的权值$w_A = 6$，路径长度$l_A = 2$，贡献为$w_A\times l_A=6\times2 = 12$。
    • $B$的权值$w_B = 7$，路径长度$l_B = 2$，贡献为$w_B\times l_B=7\times2 = 14$。
    • $C$的权值$w_C = 1$，路径长度$l_C = 4$，贡献为$w_C\times l_C=1\times4 = 4$。
    • $D$的权值$w_D = 5$，路径长度$l_D = 3$，贡献为$w_D\times l_D=5\times3 = 15$。
    • $E$的权值$2)，路径长度\(l_E = 3$，贡献为$w_E\times l_E=2\times3 = 6$。
    • $F$的权值$w_F = 8$，路径长度$l_F = 2$，贡献为$w_F\times l_F=8\times2 = 16$。
    • $WPL=12 + 14+4 + 15+6 + 16 = 67$。