材料相同，宽度相等，厚度h1/h2=1/2的两板叠放在一起组成一简支梁如图所示，梁上承受均布载荷q。(1)若两板简单叠放在一起，试求此时两板内的最大正应力；(2)若两板胶合在一起不能相互滑动，则此时的最大正应力比前种情况减少了多少? 9-|||-hi-|||-h2-|||-4分 B-|||-b

步骤 1：计算两板简单叠放在一起时的最大应力
- 设变形后任一截面处两梁中性层曲率半径分别为ρ1和ρ2，两梁承担的弯矩分别为M1和M2，截面惯性矩分别为I1和I2。
- 由于两板材料相同，宽度相等，厚度比为h1/h2=1/2，因此I1/I2=(h1/h2)^3=1/8。
- 由梁的弯曲理论，弯矩与曲率半径的关系为：$\dfrac{1}{\rho_1}=\dfrac{M_1}{EI_1}$，$\dfrac{1}{\rho_2}=\dfrac{M_2}{EI_2}$，由于ρ1=ρ2，因此M1/M2=I1/I2=1/8。
- 均布载荷q作用下，梁的弯矩分布为：$M_1=\dfrac{1}{8}M_2$，$M_2=\dfrac{1}{9}ql^2$，因此$M_1=\dfrac{1}{72}ql^2$。
- 两板最大弯曲正应力分别为：${\sigma_1}_{max}=\dfrac{M_1}{W_1}=\dfrac{6M_1}{bh_1^2}=\dfrac{ql^2}{12bh_1^2}$，${\sigma_2}_{max}=\dfrac{M_2}{W_2}=\dfrac{6M_2}{bh_2^2}=\dfrac{2ql^2}{3bh_2^2}$。

步骤 2：计算两板胶合在一起时的最大正应力
- 两板胶合在一起时，按一个梁计算，截面惯性矩为：$I=I_1+I_2=\dfrac{bh_1^3}{12}+\dfrac{bh_2^3}{12}=\dfrac{bh_1^3}{12}+\dfrac{8bh_1^3}{12}=\dfrac{9bh_1^3}{12}=\dfrac{3bh_1^3}{4}$。
- 最大弯矩为：$M=\dfrac{1}{8}ql^2$。
- 最大弯曲正应力为：${\sigma}_{max}=\dfrac{M}{W}=\dfrac{6M}{bh_1^2}=\dfrac{ql^2}{4bh_1^2}$。

步骤 3：计算两板胶合前后最大正应力之比
- 两板胶合前后最大正应力之比为：$\dfrac{{\sigma}_{max}}{{\sigma_2}_{max}}=\dfrac{\dfrac{ql^2}{4bh_1^2}}{\dfrac{2ql^2}{3bh_2^2}}=\dfrac{3}{8}$。
- 亦即，两板胶合后最大正应力是未胶合时最大正应力的一半。