水在圆形直管中作完全湍流时，当输送量、管长和管子的相对粗糙度不变，仅将其管径缩小一半，则阻力变为原来的( )倍。A. 16B. 32C. 不变

考查要点：本题主要考查完全湍流状态下管道阻力的计算，涉及达西方程的应用及流量、流速、管径之间的关系。

解题核心思路：

1. 完全湍流特性：摩擦系数$\lambda$仅与相对粗糙度有关，与雷诺数无关。
2. 流量恒定：管径变化时，流速需调整以保持流量$Q$不变。
3. 阻力公式：总阻力与流速平方、管长、摩擦系数及管径相关，需结合流量变化推导最终倍数关系。

破题关键点：

• 流量公式：$Q = v \cdot \frac{\pi D^2}{4}$，管径减半时流速变为原来的4倍。
• 阻力公式：总阻力与流速平方和管径成反比，结合流速变化综合计算倍数。

步骤1：分析流量与流速的关系

流量$Q$保持不变，由公式$Q = v \cdot \frac{\pi D^2}{4}$可知，当管径$D$变为$\frac{D}{2}$时，流速$v'$需满足：
$v' \cdot \frac{\pi (\frac{D}{2})^2}{4} = v \cdot \frac{\pi D^2}{4} \implies v' = 4v.$

步骤2：代入阻力公式

完全湍流时，总阻力$E$可表示为：
$E = \frac{\lambda L}{D} \cdot \frac{v^2}{2g} \cdot Q \cdot \rho \cdot g = \frac{\lambda L Q \rho}{D} \cdot \frac{v^2}{2}.$
当管径变为$\frac{D}{2}$，流速变为$4v$，代入得新阻力$E'$：
$E' = \frac{\lambda L Q \rho}{\frac{D}{2}} \cdot \frac{(4v)^2}{2} = \frac{2\lambda L Q \rho}{D} \cdot \frac{16v^2}{2} = 32 \cdot \frac{\lambda L Q \rho}{D} \cdot \frac{v^2}{2} = 32E.$

关键结论：阻力变为原来的32倍。