题目

2.2图(题2.2)中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程,图中x;表-|||-示输入位移,x0表示输出位移,假设输出端无负载效应。-|||-白 c1 |xi k1

题目解答

答案

解析

考查要点：本题要求根据牛顿定律，推导三个机械系统的微分方程，重点考察对机械系统受力分析、微分方程建立的能力。

解题核心思路：

  1. 受力分析：明确每个元件（弹簧、阻尼器、质量块）的力与位移关系，注意相对运动方向。
  2. 牛顿定律应用：对关键节点（如质量块、中间变量点）列写力平衡方程。
  3. 消去中间变量（若存在）：通过联立方程消去中间变量，得到输入输出关系。

破题关键点：

  • 图(a)：质量块受两个阻尼器的合力作用，需正确表达阻尼力方向。
  • 图(b)：引入中间变量简化分析，联立两个节点的方程消去中间变量。
  • 图(c)：并联弹簧和阻尼器的等效特性，直接建立输入输出关系。

图(a)分析

  1. 受力分析：
    • 阻尼器$C_1$的力：$C_1(x_1 - x_0)$（输入与质量块的相对运动）。
    • 阻尼器$C_2$的力：$C_2 x_0$（直接作用于输出）。
  2. 牛顿定律：质量块$m$的加速度为$\ddot{x}_0$，总外力等于$m\ddot{x}_0$。
    $C_1(x_1 - x_0) - C_2 x_0 = m\ddot{x}_0$
  3. 整理方程：
    $m\ddot{x}_0 + (C_1 + C_2)\dot{x}_0 = C_1 \dot{x}_1$

图(b)分析

  1. 引入中间变量$x$：连接$C$、$k_1$和$k_2$的节点。
  2. 节点$x$的受力：
    • 阻尼器$C$的力：$C(\dot{x}_1 - \dot{x})$。
    • 弹簧$k_1$的力：$k_1(x - x_0)$。
      $C(\dot{x}_1 - \dot{x}) = k_1(x - x_0) \quad (1)$
  3. 节点$x_0$的受力：
    • 阻尼器$C$的力：$C(\dot{x} - \dot{x}_0)$。
    • 弹簧$k_2$的力：$k_2 x_0$。
      $C(\dot{x} - \dot{x}_0) = k_2 x_0 \quad (2)$
  4. 联立方程：由$(1)$得$x - x_0 = \frac{C}{k_1}(\dot{x}_1 - \dot{x})$，代入$(2)$消去$x$，整理得：
    $C(k_1 + k_2)\dot{x}_0 + k_1 k_2 x_0 = C k_1 \dot{x}_1$

图(c)分析

  1. 受力分析：
    • 阻尼器$C$的力：$C(x_1 - x_0)$。
    • 弹簧$k_1$的力：$k_1(x_1 - x_0)$。
    • 弹簧$k_2$的力：$k_2 x_0$。
  2. 力平衡方程：
    $C(x_1 - x_0) + k_1(x_1 - x_0) = k_2 x_0$
  3. 整理方程：
    $C\dot{x}_0 + (k_1 + k_2)x_0 = C\dot{x}_1 + k_1 x_1$