下列各对函数中相同的是()(A) y=(x^2-16)/(x-4), y=x+4(B) y=sqrt(x^2), y=x(C) y=lg x^4, y=4lg x(D) y=sqrt[3](x^4-x^3), y=x(x-1)^(1)/(3)

我们来逐项分析选项中每对函数是否相同。判断两个函数是否相同，需满足以下两个条件：

1. 定义域相同；
2. 对应法则相同（即对于定义域中的每一个 $x$，两个函数的输出值相同）。

选项 (A)

• 函数1：$ y = \frac{x^2 - 16}{x - 4} $
• 函数2：$ y = x + 4 $

分析：

我们先对第一个函数进行化简：

$\frac{x^2 - 16}{x - 4} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4}$

当 $ x \ne 4 $ 时，可以约分：

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$

但注意：原函数在 $ x = 4 $ 处无定义（分母为0），而第二个函数 $ y = x + 4 $ 在 $ x = 4 $ 处是有定义的。

因此，两个函数的定义域不同，第一个函数在 $ x = 4 $ 处不定义，而第二个函数定义在整个实数集。

结论：不同函数。

选项 (B)

• 函数1：$ y = \sqrt{x^2} $
• 函数2：$ y = x $

分析：

我们知道：

$\sqrt{x^2} = |x|$

所以第一个函数实际上是：

$y = |x|$

而第二个函数是：

$y = x$

显然，这两个函数不相同，因为它们的输出值在负数区域不同。

结论：不同函数。

选项 (C)

• 函数1：$ y = \lg x^4 $
• 函数2：$ y = 4 \lg x $

分析：

我们利用对数恒等式：

$\lg x^4 = 4 \lg x \quad \text{（当 } x > 0 \text{ 时成立）}$

所以，两个函数在 $ x > 0 $ 的范围内是相等的。

但是注意：函数1 $ \lg x^4 $ 的定义域是 $ x \ne 0 $，因为 $ x^4 > 0 $ 对于所有 $ x \ne 0 $ 成立；

而函数2 $ 4 \lg x $ 的定义域是 $ x > 0 $，因为 $ \lg x $ 只在正数有定义。

因此，两个函数的定义域不同，一个是 $ x \ne 0 $，一个是 $ x > 0 $。

结论：不同函数。

选项 (D)

• 函数1：$ y = \sqrt[3]{x^4 - x^3} $
• 函数2：$ y = x(x - 1)^{1/3} $

分析：

我们尝试将第一个函数进行因式分解：

$x^4 - x^3 = x^3(x - 1)$

所以：

$\sqrt[3]{x^4 - x^3} = \sqrt[3]{x^3(x - 1)} = x \cdot \sqrt[3]{x - 1}$

而第二个函数是：

$x(x - 1)^{1/3}$

我们看到，两个函数的表达式完全一致：

$\sqrt[3]{x^4 - x^3} = x(x - 1)^{1/3}$

并且两个函数的定义域也相同：

• 第一个函数：$ x \in \mathbb{R} $，因为立方根在实数范围内对任何实数都有定义；
• 第二个函数：$ x \in \mathbb{R} $，因为 $ (x - 1)^{1/3} $ 也是对所有实数定义的。

结论：两个函数完全相同。

✅ 最终答案：(D)

总结：

• (A)：定义域不同；
• (B)：输出不同；
• (C)：定义域不同；
• (D)：表达式相同，定义域相同，函数相同。

答案： $\boxed{D}$