题目
汽车传动轴由45号钢无缝钢管制成,外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,[τ]=60 MPa,其所承受的最大外力偶矩为1.5kN·m,试校核其强度。若在τmａx 不变的条件下改用实心轴,试确定圆轴的直径D,并计算空心轴与实心轴的重量比。
汽车传动轴由45号钢无缝钢管制成,外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,[τ]=60 MPa,其所承受的最大外力偶矩为1.5kN·m,试校核其强度。若在τmａx 不变的条件下改用实心轴,试确定圆轴的直径D,并计算空心轴与实心轴的重量比。
题目解答
答案
解: (1) 校核空心轴的扭转强度
所以轴的扭转强度足够。
(2) 确定实心圆轴直径
根据实心轴与空心轴最大剪应力相等的条件
抗扭截面模量Wp相等的条件
(3) 计算空心轴与实心轴重量之比
解析
步骤 1：计算空心轴的抗扭截面模量
空心轴的抗扭截面模量 ${W}_{x}$ 可以通过公式 ${W}_{x}=\dfrac {\pi {D}^{3}}{16}(1-{x}^{3})$ 计算，其中 $D$ 是外径，$x$ 是内外径比，即 $x=\dfrac {D-2t}{D}$。将已知数值代入公式，计算出 ${W}_{x}$。
步骤 2：计算空心轴的最大剪应力
空心轴的最大剪应力 ${\tau}_{max}$ 可以通过公式 ${\tau}_{max}=\dfrac {T}{{W}_{x}}$ 计算，其中 $T$ 是外力偶矩。将已知数值代入公式，计算出 ${\tau}_{max}$。
步骤 3：校核空心轴的扭转强度
比较 ${\tau}_{max}$ 和许用剪应力 $[{\tau}]$，如果 ${\tau}_{max} \leq [{\tau}]$，则空心轴的扭转强度足够。
步骤 4：确定实心轴的直径
根据实心轴与空心轴最大剪应力相等的条件，即 ${\tau}_{max}=\dfrac {T}{{W}_{r}}=\dfrac {T}{\dfrac {\pi {D}^{3}}{16}}$，计算出实心轴的直径 $D$。
步骤 5：计算空心轴与实心轴的重量比
空心轴与实心轴的重量比可以通过计算它们的截面积比来确定，即 $\dfrac {A_{1}}{A_{2}}=\dfrac {\dfrac {\pi }{4}({D}^{2}-{d}^{2})}{\dfrac {\pi }{4}{D}^{2}}$，其中 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 分别是空心轴和实心轴的截面积。
空心轴的抗扭截面模量 ${W}_{x}$ 可以通过公式 ${W}_{x}=\dfrac {\pi {D}^{3}}{16}(1-{x}^{3})$ 计算，其中 $D$ 是外径，$x$ 是内外径比，即 $x=\dfrac {D-2t}{D}$。将已知数值代入公式，计算出 ${W}_{x}$。
步骤 2：计算空心轴的最大剪应力
空心轴的最大剪应力 ${\tau}_{max}$ 可以通过公式 ${\tau}_{max}=\dfrac {T}{{W}_{x}}$ 计算，其中 $T$ 是外力偶矩。将已知数值代入公式，计算出 ${\tau}_{max}$。
步骤 3：校核空心轴的扭转强度
比较 ${\tau}_{max}$ 和许用剪应力 $[{\tau}]$，如果 ${\tau}_{max} \leq [{\tau}]$，则空心轴的扭转强度足够。
步骤 4：确定实心轴的直径
根据实心轴与空心轴最大剪应力相等的条件，即 ${\tau}_{max}=\dfrac {T}{{W}_{r}}=\dfrac {T}{\dfrac {\pi {D}^{3}}{16}}$，计算出实心轴的直径 $D$。
步骤 5：计算空心轴与实心轴的重量比
空心轴与实心轴的重量比可以通过计算它们的截面积比来确定，即 $\dfrac {A_{1}}{A_{2}}=\dfrac {\dfrac {\pi }{4}({D}^{2}-{d}^{2})}{\dfrac {\pi }{4}{D}^{2}}$，其中 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 分别是空心轴和实心轴的截面积。