题目
6-6 圆截面外伸梁如习题 6-6 图所示,已知材料的许用应力 [ theta ] =100MPa, 试按弯曲-|||-正应力强度条件确定梁横截面的直径。-|||-3 kN 12kN 3 kN-|||-1m 1m 1m 1m D-|||-习题 6-6 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算梁的弯矩
首先，我们需要计算梁在不同位置的弯矩。梁受到三个力的作用：两个3kN的力和一个11kN的力。梁的长度为4m，其中两个3kN的力分别作用在1m和3m处，11kN的力作用在4m处。我们首先计算梁的支反力，然后计算弯矩。
步骤 2：计算支反力
设梁的左端支反力为$R_A$，右端支反力为$R_B$。根据静力平衡条件，有：
$$
\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - 3kN - 11kN - 3kN = 0
$$
$$
\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \times 4m - 3kN \times 1m - 11kN \times 3m - 3kN \times 4m = 0
$$
解上述方程组，得到$R_A = 10kN$，$R_B = 10kN$。
步骤 3：计算最大弯矩
根据支反力和力的作用位置，可以计算出梁的最大弯矩。最大弯矩发生在梁的中间位置，即2m处。此时，弯矩为：
$$
M_{max} = R_A \times 2m - 3kN \times 1m = 10kN \times 2m - 3kN \times 1m = 17kNm
$$
步骤 4：计算梁的直径
根据弯曲正应力强度条件，有：
$$
\sigma_{max} = \frac{M_{max} \times c}{I} \leq [\sigma]
$$
其中，$\sigma_{max}$为最大正应力，$M_{max}$为最大弯矩，$c$为截面的半径，$I$为截面的惯性矩，$[\sigma]$为材料的许用应力。对于圆截面，有：
$$
I = \frac{\pi d^4}{64}
$$
$$
c = \frac{d}{2}
$$
将上述公式代入弯曲正应力强度条件，得到：
$$
\frac{17kNm \times \frac{d}{2}}{\frac{\pi d^4}{64}} \leq 100MPa
$$
解上述不等式，得到：
$$
d \geq 67mm
$$
首先，我们需要计算梁在不同位置的弯矩。梁受到三个力的作用：两个3kN的力和一个11kN的力。梁的长度为4m，其中两个3kN的力分别作用在1m和3m处，11kN的力作用在4m处。我们首先计算梁的支反力，然后计算弯矩。
步骤 2：计算支反力
设梁的左端支反力为$R_A$，右端支反力为$R_B$。根据静力平衡条件，有：
$$
\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - 3kN - 11kN - 3kN = 0
$$
$$
\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \times 4m - 3kN \times 1m - 11kN \times 3m - 3kN \times 4m = 0
$$
解上述方程组，得到$R_A = 10kN$，$R_B = 10kN$。
步骤 3：计算最大弯矩
根据支反力和力的作用位置，可以计算出梁的最大弯矩。最大弯矩发生在梁的中间位置，即2m处。此时，弯矩为：
$$
M_{max} = R_A \times 2m - 3kN \times 1m = 10kN \times 2m - 3kN \times 1m = 17kNm
$$
步骤 4：计算梁的直径
根据弯曲正应力强度条件，有：
$$
\sigma_{max} = \frac{M_{max} \times c}{I} \leq [\sigma]
$$
其中，$\sigma_{max}$为最大正应力，$M_{max}$为最大弯矩，$c$为截面的半径，$I$为截面的惯性矩，$[\sigma]$为材料的许用应力。对于圆截面，有：
$$
I = \frac{\pi d^4}{64}
$$
$$
c = \frac{d}{2}
$$
将上述公式代入弯曲正应力强度条件，得到：
$$
\frac{17kNm \times \frac{d}{2}}{\frac{\pi d^4}{64}} \leq 100MPa
$$
解上述不等式，得到：
$$
d \geq 67mm
$$