水在圆形直管中呈层流流动。若流量不变,说明在下列情况下,因流动阻力而产生的能量损失的变化情况:(1)管长增加一倍;(2)管径增加一倍。

考查要点：本题主要考查圆管层流流动中能量损失（压降）与管长、管径的关系，需结合泊肃叶定律或层流阻力公式进行分析。

解题核心思路：

1. 明确公式：层流流动的压降公式为 $\Delta P = \dfrac{32 \mu u_m l}{d^2}$，其中 $u_m$ 为平均流速，$l$ 为管长，$d$ 为管径。
2. 流量不变的约束：流量 $Q = u_m \cdot \dfrac{\pi d^2}{4}$，当 $Q$ 不变时，$u_m$ 与 $d^2$ 成反比。
3. 变量关系分析：分别分析管长 $l$ 和管径 $d$ 变化时，如何通过公式推导压降的变化倍数。

破题关键点：

• 管长增加：直接与压降成正比，倍数关系明显。
• 管径增加：需结合流量不变条件，推导 $u_m$ 的变化，再代入公式计算压降变化。

第（1）题：管长增加一倍

1. 公式直接应用：
   压降公式 $\Delta P = \dfrac{32 \mu u_m l}{d^2}$ 中，当 $l$ 增加一倍（$l \to 2l$），其他变量不变时，压降 $\Delta P$ 也增加一倍。

第（2）题：管径增加一倍

1. 流量不变条件：
   $Q = u_m \cdot \dfrac{\pi d^2}{4}$，当 $d$ 增加一倍（$d \to 2d$），为保持 $Q$ 不变，平均流速 $u_m$ 需变为原来的 $\dfrac{1}{4}$（$u_m \to \dfrac{u_m}{4}$）。
2. 代入压降公式：
   原压降 $\Delta P = \dfrac{32 \mu u_m l}{d^2}$，新压降 $\Delta P_{\text{新}} = \dfrac{32 \mu \cdot \dfrac{u_m}{4} \cdot l}{(2d)^2} = \dfrac{32 \mu u_m l}{4 \cdot 4d^2} = \dfrac{\Delta P}{16}$。