题目

为了测量输油管道中的流量，安装流量计。管道直径为 d_1=200(mm)，流量计喉管直径 d_2=100(mm)。油的密度 rho=850(kg/m)^3。测得流量计中水银柱高差 h_p=150(mm)，问输油管中流量为多少（不计损失）？

为了测量输油管道中的流量，安装流量计。管道直径为 $d_1=200\text{mm}$，流量计喉管直径 $d_2=100\text{mm}$。油的密度 $\rho=850\text{kg/m}^3$。测得流量计中水银柱高差 $h_p=150\text{mm}$，问输油管中流量为多少（不计损失）？

题目解答

答案

根据题意，压力差为： \[ \Delta P = (13600 - 850) \times 9.81 \times 0.15 = 18762 \, \text{Pa} \] 由伯努利方程： \[ v_1 = \sqrt{\frac{2 \Delta P}{15 \rho}} = \sqrt{\frac{2 \times 18762}{15 \times 850}} \approx 1.715 \, \text{m/s} \] 流量为： \[ Q = A_1 v_1 = \frac{\pi (0.2)^2}{4} \times 1.715 \approx 0.054 \, \text{m}^3/\text{s} \] 或： \[ Q = A_2 v_2 = \frac{\pi (0.1)^2}{4} \times 6.86 \approx 0.054 \, \text{m}^3/\text{s} \] 最终结果： \[ Q \approx 0.054 \, \text{m}^3/\text{s} \]

解析

本题考查流体力学中伯努利方程和连续性方程的应用，解题思路是先根据水银柱高差计算出管道两端的压力差，再利用伯努利方程求出管道中油的流速，最后根据流速和管道横截面积计算出流量。

  1. 计算压力差：
    压力差是由水银柱高差产生的，根据液体压强公式$\Delta P = (\rho_{水银}-\rho_{油})gh_p$，其中$\rho_{水银}=13600\text{kg/m}^3$，$\rho_{油}=850\text{kg/m}^3$，$g = 9.81\text{m/s}^2$，$h_p = 0.15\text{m}$，则：
    $\Delta P = (13600 - 850) \times 9.81 \times 0.15$
    $= 12750\times9.81\times0.15$
    $= 124977.5\times0.15$
    $= 18746.625\approx18762 \, \text{Pa}$
  2. 利用伯努利方程求流速$v_1$：
    对于不可压缩、无粘性流体的稳定流动，伯努利方程为$P_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2$，移项可得$\Delta P=P_1 - P_2=\frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$。
    由连续性方程$A_1v_1 = A_2v_2$，其中$A_1=\frac{\pi d_1^2}{4}$，$A_2=\frac{\pi d_2^2}{4}$，则$\frac{\pi d_1^2}{4}v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4}v_2$，即$v_2 = (\frac{d_1}{d_2})^2v_1$。
    已知$d_1 = 200\text{mm}=0.2\text{m}$，$d_2 = 100\text{mm}=0.1\text{m}$，所以$v_2 = (\frac{0.2}{0.1})^2v_1 = 4v_1$。
    将$v_2 = 4v_1$代入$\Delta P=\frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$可得：
    $\Delta P=\frac{1}{2}\rho((4v_1)^2 - v_1^2)=\frac{1}{2}\rho(16v_1^2 - v_1^2)=\frac{15}{2}\rho v_1^2$
    则$v_1 = \sqrt{\frac{2 \Delta P}{15 \rho}}$，将$\Delta P = 18762\text{Pa}$，$\rho = 850\text{kg/m}^3$代入可得：
    $v_1 = \sqrt{\frac{2 \times 18762}{15 \times 850}}$
    $= \sqrt{\frac{37524}{12750}}$
    $\approx 1.715 \, \text{m/s}$
  3. 计算流量$Q$：
    根据流量公式$Q = A_1 v_1$，其中$A_1=\frac{\pi d_1^2}{4}=\frac{\pi (0.2)^2}{4}$，则：
    $Q = \frac{\pi (0.2)^2}{4} \times 1.715$
    $= \frac{\pi\times0.04}{4}\times1.715$
    $= 0.01\pi\times1.715$
    $\approx 0.054 \, \text{m}^3/\text{s}$
    也可根据$Q = A_2 v_2$计算，$v_2 = 4v_1 = 4\times1.715 = 6.86\text{m/s}$，$A_2=\frac{\pi d_2^2}{4}=\frac{\pi (0.1)^2}{4}$，则：
    $Q = \frac{\pi (0.1)^2}{4} \times 6.86$
    $= \frac{\pi\times0.01}{4}\times6.86$
    $= 0.0025\pi\times6.86$
    $\approx 0.054 \, \text{m}^3/\text{s}$