题目

5-7试用截面法计算图示杆件各段的轴力,并画轴力图。-|||-Fp Fp 30kN 20kN 10kN 20 kN-|||-A C B A C D B-|||-(a) (b)-|||-2kN 5kN 3 kN 20kN 10kN 20kN-|||-A C B A C D E-|||-(c) (d)-|||-5-8 图示的等截面直杆由钢杆ABC与铜杆CD在C处粘接而成。直杆各部分的直径-|||-均为 =36mm, 受力如图所示。若不考虑杆的自重,试求AC段和AD段杆的轴向变形量 Delta (L)_(AC)-|||-和 △lAD 。

题目解答

答案

解析

本题考查轴向变形的计算，核心在于胡克定律的应用。解题关键点：

  1. 确定各段轴力：通过截面法分析杆件各段的内力；
  2. 区分材料弹性模量：钢和铜的弹性模量不同，需分别计算；
  3. 分段计算变形：AC段为钢，AD段包含钢和铜两部分，需叠加变形。

步骤1：计算轴力

  • AC段轴力：杆件受力平衡，AC段轴力为右侧所有外力的代数和。假设外力方向向上为正，则：
    $F_{AC} = 20\,\text{kN} + 5\,\text{kN} + 3\,\text{kN} = 28\,\text{kN}$

步骤2：计算变形

  • AC段变形（钢）：
    $\Delta l_{AC} = \frac{F_{AC} \cdot L_{AC}}{E_{\text{钢}} \cdot A}$
    其中：

    • $L_{AC} = 0.5\,\text{m}$（假设长度）
    • $E_{\text{钢}} = 200\,\text{GPa}$
    • $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.036^2}{4} \approx 1.018\,\text{cm}^2$

    代入得：
    $\Delta l_{AC} = \frac{28 \cdot 0.5}{200 \cdot 1.018} \approx 2.947\,\text{mm}$

  • AD段变形（钢+铜）：
    $\Delta l_{AD} = \Delta l_{AC} + \Delta l_{CD}$
    其中：

    • $\Delta l_{CD} = \frac{F_{CD} \cdot L_{CD}}{E_{\text{铜}} \cdot A}$
    • $F_{CD} = 3\,\text{kN}$（假设CD段轴力）
    • $L_{CD} = 0.5\,\text{m}$
    • $E_{\text{铜}} = 110\,\text{GPa}$

    代入得：
    $\Delta l_{CD} = \frac{3 \cdot 0.5}{110 \cdot 1.018} \approx 2.339\,\text{mm}$
    $\Delta l_{AD} = 2.947 + 2.339 = 5.286\,\text{mm}$