已知单元体的应力状态如图所示,图中应力单位皆为MPa。试用解析法及图解法求:-|||-(1)主应力大小,主平面位置。-|||-(2)在单元体上作出主平面位置及主应力方向。-|||-(3)图示平面内的极值切应力。-|||-20-|||-square 50-|||-(a)-|||-square 50-|||-20-|||-(b)-|||-(b) (c)-|||-80 30-|||-square 20 square 20 20-|||-20-|||-一 square 40-|||-40-|||-(d)-|||-(e) (f)

题目主要考察二向应力状态下主应力、主平面位置及极值切应力的计算，涉及解析法（公式计算）和图解法（应力圆）两种方法。以下是关键知识点和解题思路：

核心公式回顾

1. 主应力公式：
   $\sigma_{\text{max/min}} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$
2. 主平面方位角公式：
   $\tan 2\alpha_0 = -\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$
3. 极值切应力公式：
   $\tau_{\text{max}} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$

各图（a-f）详细解析

图(a)

• 已知：$\sigma_x=50\,\text{MPa}$, $\sigma_y=0$, $\tau_{xy}=20\,\text{MPa}$
• 主应力：
  $\sigma_{\text{max}} = \frac{50+0}{2} + \sqrt{\left(\frac{50-0}{2}\right)^2 + 20^2} = 25 + \sqrt{625 + 400} = 57\,\text{MPa}$
  $\sigma_{\text{min}} = 25 - \sqrt{1025} = -7\,\text{MPa}$
  按记号规定：$\sigma_1=57\,\text{MPa}$, $\sigma_2=0$, $\sigma_3=-7\,\text{MPa}$
• 主平面方位：
  $\tan 2\alpha_0 = -\frac{2\times20}{50-0} = -0.8 \implies \alpha_0=-19^\circ20'$
• 极值切应力：
  $\tau_{\text{max}} = \frac{57 - (-7)}{2} = 32\,\text{MPa}$

图(b)

• 已知：$\sigma_x=50\,\text{MPa}$, $\sigma_y=0$, $\tau_{xy}=-20\,\text{MPa}$
• 主应力：同图(a)，$\sigma_1=57\,\text{MPa}$, $\sigma_2=0$, $\sigma_3=-7\,\text{MPa}$
• 主平面方位：
  $\tan 2\alpha_0 = -\frac{2\times(-20)}{50-0} = 0.8 \implies \alpha_0=19^\circ20'$
• 极值切应力：$\tau_{\text{max}}=32\,\text{MPa}$

图(c)

• 已知：$\sigma_x=0$, $\sigma_y=0$, $\tau_{xy}=25\,\text{MPa}$
• 主应力：
  $\sigma_{\text{max}} = \sqrt{25^2} = 25\,\text{MPa}, \quad \sigma_{\text{min}} = -25\,\text{MPa}$
  按记号规定：$\sigma_1=25\,\text{MPa}$, $\sigma_2=0$, $\sigma_3=-25\,\text{MPa}$
• 主平面方位：
  $\tan 2\alpha_0 = -\frac{2\times25}{0-0} = -\infty \implies \alpha_0=-45^\circ$
• 极值切应力：
  $\tau_{\text{max}} = \frac{25 - (-25)}{2} = 25\,\text{MPa}$

图(d)

• 已知：$\sigma_x=-40\,\text{MPa}$, $\sigma_y=-20\,\text{MPa}$, $\tau_{xy}=-40\,\text{MPa}$
• 主应力：
  $\sigma_{\text{max}} = \frac{-40-20}{2} + \sqrt{\left(\frac{-40+20}{2}\right)^2 + (-40)^2} = -30 + \sqrt{100 + 1600} = 11.2\,\text{MPa}$
  $\sigma_{\text{min}} = -30 - \sqrt{1700} = -71.2\,\text{MPa}$
  按记号规定：$\sigma_1=11.2\,\text{MPa}$, $\sigma_2=0$, $\sigma_3=-71.2\,\text{MPa}$
• 主平面方位：
  $\tan 2\alpha_0 = -\frac{2\times(-40)}{-40+20} = -4 \implies \alpha_0=-38^\circ$
• 极值切应力：
  $\tau_{\text{max}} = \frac{11.2 - (-71.2)}{2} = 41.2\,\text{MPa}$

图(e)

• 已知：$\sigma_x=0$, $\sigma_y=-80\,\text{MPa}$, $\tau_{xy}=20\,\text{MPa}$
• 主应力：
  $\sigma_{\text{max}} = \frac{0-80}{2} + \sqrt{\left(\frac{0+80}{2}\right)^2 + 20^2} = -40 + \sqrt{1600 + 400} = 4.7\,\text{MPa}$
  $\sigma_{\text{min}} = -40 - \sqrt{2000} = -84.7\,\text{MPa}$
  按记号规定：$\sigma_1=4.7\,\text{MPa}$, $\sigma_2=0$, $\sigma_3=-84.7\,\text{MPa}$
• 主平面方位：
  $\tan 2\alpha_0 = -\frac{2\times20}{0+80} = -0.5 \implies \alpha_0=-13^\circ17'$
• 极值切应力：
  $\tau_{\text{max}} = \frac{4.7 - (-84.7)}{2} = 44.7\,\text{MPa}$

图(f)

• 已知：$\sigma_x=-20\,\text{MPa}$, $\sigma_y=30\,\text{MPa}$, $\tau_{xy}=20\,\text{MPa}$
• 主应力：
  $\sigma_{\text{max}} = \frac{-20+30}{2} + \sqrt{\left(\frac{-20-30}{2}\right)^2 + 20^2} = 5 + \sqrt{625 + 400} = 37\,\text{MPa}$
  $\sigma_{\text{min}} = 5 - \sqrt{1025} = -27\,\text{MPa}$
  按记号规定：$\sigma_1=37\,\text{MPa}$, $\sigma_2=0$, $\sigma_3=-27\,\text{MPa}$
• 主平面方位：
  $\tan 2\alpha_0 = -\frac{2\times20}{-20-30} = 0.8 \implies \alpha_0=19^\circ20'$
• 极值切应力：
  $\tau_{\text{max}} = \frac{37 - (-27)}{2} = 32\,\text{MPa}$