题目
7-8 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求:-|||-(1)主应力的数值;-|||-(2)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。-|||-130MPa 140MPa-|||-70MPa 80MPa-|||-70MPa 80MPa-|||-(a) (b)-|||-10MPa-|||-square 10 MPa-|||-20MPa-|||-50MPa-|||-(c)-|||-30MPa-|||-80 MPa-|||-30MPa-|||-160MPa
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定应力圆的中心和半径
对于平面应力状态，应力圆的中心位于${\sigma }_{x}$和${\sigma }_{y}$的平均值处，即${\sigma }_{c}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}$。应力圆的半径$R$等于${\sigma }_{x}$和${\sigma }_{y}$的差值的一半加上剪应力${\tau }_{xy}$，即$R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\right)}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$。
步骤 2：计算主应力
主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$分别对应于应力圆的最高点和最低点，即${\sigma }_{1}={\sigma }_{c}+R$和${\sigma }_{3}={\sigma }_{c}-R$。
步骤 3：确定主平面的位置
主平面的位置可以通过计算${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\mathrm{arctan}\left(\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}\right)$来确定，其中${\alpha }_{0}$是主平面与${\sigma }_{x}$轴的夹角。
对于平面应力状态，应力圆的中心位于${\sigma }_{x}$和${\sigma }_{y}$的平均值处，即${\sigma }_{c}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}$。应力圆的半径$R$等于${\sigma }_{x}$和${\sigma }_{y}$的差值的一半加上剪应力${\tau }_{xy}$，即$R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\right)}^{2}+{\tau }_{xy}^{2}}$。
步骤 2：计算主应力
主应力${\sigma }_{1}$和${\sigma }_{3}$分别对应于应力圆的最高点和最低点，即${\sigma }_{1}={\sigma }_{c}+R$和${\sigma }_{3}={\sigma }_{c}-R$。
步骤 3：确定主平面的位置
主平面的位置可以通过计算${\alpha }_{0}=\frac{1}{2}\mathrm{arctan}\left(\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}\right)$来确定，其中${\alpha }_{0}$是主平面与${\sigma }_{x}$轴的夹角。