题目
例题 8-6 图a示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力-|||-5kN,径向力1.82 kN;齿轮D上作用有水平切向力10kN,径向力3.64kN。齿-|||-轮C的节圆直径 _(c)=400mm, 齿轮D的节圆直径 _(p)=200mm 设许用应力[σ]-|||-=100MPa, 试按第四强度理论求轴所需的直径。-|||-5kN 3.64kN-|||-(a) 10kN-|||-A-|||-C B D-|||-x-|||-y 1.82kN-|||-12-|||-300mm 300mm 100mm
题目解答
答案
解析
步骤 1：受力分析
将每个齿轮上的作用力向该齿轮所在处轴的截面形心简化，于是可得轴的计算简图如图b所示。由图b可见，轴将发生扭转变形和在xy、xz两相互垂直的纵对称平面内的弯曲变形。
步骤 2：内力分析
分别作出轴在xy和xz两纵对称平面内的两个弯矩图以及扭矩图，如图c、d、e所示。由内力图可见，轴的危险截面可能发生在截面C或B处。由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，所以可将同一横截面上两相互垂直的弯矩按矢量和求其合成弯矩。由轴的两弯矩图(图c和d)可知，横截面B上合成弯矩大于截面C的，因而截面B为危险截面，其内力分量分别为合成弯矩(图g)和扭矩 ${T}_{B}=-1kN\cdot m=-1000N\cdot m$ 。
步骤 3：计算轴径
按式 (8-8b) 建立强度条件:
$$
σ4=√M^2/8+0.75T8^2
$$
$$
=\dfrac {1372N\cdot m}{w}\leqslant [ o]
$$
对于实心圆轴, $W=\dfrac {\pi {d}^{3}}{32}$ ,由此可按强度条件求得所需的直径为
$$
d≥ 3√(32×1372N·m)=0.0519m =0.0519m=51.9mm
$$
将每个齿轮上的作用力向该齿轮所在处轴的截面形心简化，于是可得轴的计算简图如图b所示。由图b可见，轴将发生扭转变形和在xy、xz两相互垂直的纵对称平面内的弯曲变形。
步骤 2：内力分析
分别作出轴在xy和xz两纵对称平面内的两个弯矩图以及扭矩图，如图c、d、e所示。由内力图可见，轴的危险截面可能发生在截面C或B处。由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，所以可将同一横截面上两相互垂直的弯矩按矢量和求其合成弯矩。由轴的两弯矩图(图c和d)可知，横截面B上合成弯矩大于截面C的，因而截面B为危险截面，其内力分量分别为合成弯矩(图g)和扭矩 ${T}_{B}=-1kN\cdot m=-1000N\cdot m$ 。
步骤 3：计算轴径
按式 (8-8b) 建立强度条件:
$$
σ4=√M^2/8+0.75T8^2
$$
$$
=\dfrac {1372N\cdot m}{w}\leqslant [ o]
$$
对于实心圆轴, $W=\dfrac {\pi {d}^{3}}{32}$ ,由此可按强度条件求得所需的直径为
$$
d≥ 3√(32×1372N·m)=0.0519m =0.0519m=51.9mm
$$