题目

相对湿度为 40%、温度为 25^circmathrm(C)、压力为 101325mathrm(Pa) 的空气，以 4mathrm(m/s) 的流速进入内径为 8mathrm(cm) 的竖直管，管内壁有 25^circmathrm(C) 的薄层水不断淌下，试计算为使空气达到饱和所需的管长。

相对湿度为 $40\%$、温度为 $25^{\circ}\mathrm{C}$、压力为 $101325\mathrm{Pa}$ 的空气，以 $4\mathrm{m/s}$ 的流速进入内径为 $8\mathrm{cm}$ 的竖直管，管内壁有 $25^{\circ}\mathrm{C}$ 的薄层水不断淌下，试计算为使空气达到饱和所需的管长。

题目解答

答案

根据题目条件，初始相对湿度 $ \phi_1 = 40\% $，终态 $ \phi_2 = 100\% $。 - 初始分压 $ p_1 = 1267.6 \, \text{Pa} $，$ y_1 = 0.01251 $。 - 终态分压 $ p_2 = 3169 \, \text{Pa} $，$ y_2 = 0.03128 $。 - 对数平均推动力 $ \Delta y_{\text{LM}} = \frac{(1-0.01251) - (1-0.03128)}{\ln\left(\frac{0.98749}{0.96872}\right)} \approx 0.9735 $。 - 气体摩尔流量 $ G = 0.822 \, \text{mol/s} $。 - 传质系数 $ k_y = 0.02 \, \text{mol/(m}^2 \cdot \text{s·(mol/mol))} $。 - 管长计算： \[ L = \frac{G (y_2 - y_1)}{k_y \pi d \Delta y_{\text{LM}}} = \frac{0.822 \times 0.01877}{0.02 \times \pi \times 0.08 \times 0.9735} \approx 3.15 \, \text{m} \] 答案：约 3.15 米。

解析

考查要点：本题主要考查湿空气的传质过程，涉及相对湿度与分压的转换、对数平均推动力的计算，以及传质速率方程的应用。

解题核心思路：

  1. 确定初始与终态的湿度参数：根据相对湿度和温度，计算初始和终态的水蒸气分压及摩尔分数。
  2. 计算对数平均推动力：通过液相浓度差的对数平均值反映传质过程的推动力。
  3. 应用传质速率方程：结合气体流量、传质系数和推动力，建立方程求解管长。

破题关键点：

  • 湿空气性质转换：利用相对湿度与分压的关系，结合理想气体定律计算摩尔分数。
  • 推动力公式选择：正确应用对数平均推动力公式，体现浓度梯度变化。
  • 传质速率方程变形：将传质速率方程转化为管长的表达式，代入已知参数求解。

1. 初始与终态参数计算

  • 初始分压：
    $\phi_1 = 40\%$，$T = 25^{\circ}\mathrm{C}$时，水的饱和蒸气压$p_{\text{sat}} = 3169 \, \text{Pa}$，则：
    $p_1 = \phi_1 \cdot p_{\text{sat}} = 0.4 \cdot 3169 = 1267.6 \, \text{Pa}$
    初始摩尔分数：
    $y_1 = \frac{p_1}{P_{\text{总}}} = \frac{1267.6}{101325} \approx 0.01251$

  • 终态参数：
    $\phi_2 = 100\%$，故$p_2 = p_{\text{sat}} = 3169 \, \text{Pa}$，对应：
    $y_2 = \frac{p_2}{P_{\text{总}}} = \frac{3169}{101325} \approx 0.03128$

2. 对数平均推动力计算

液相浓度差的对数平均推动力为：
$\Delta y_{\text{LM}} = \frac{(1 - y_1) - (1 - y_2)}{\ln\left(\frac{1 - y_1}{1 - y_2}\right)} = \frac{0.98749 - 0.96872}{\ln\left(\frac{0.98749}{0.96872}\right)} \approx 0.9735$

3. 气体摩尔流量计算

  • 体积流量：
    管道横截面积$A = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.04)^2 \approx 0.0050265 \, \text{m}^2$，体积流量：
    $Q = v \cdot A = 4 \cdot 0.0050265 \approx 0.020106 \, \text{m}^3/\text{s}$
  • 气体摩尔浓度：
    由理想气体定律，$\rho = \frac{P_{\text{总}}}{R \cdot T} = \frac{101325}{8.314 \cdot 298.15} \approx 40.95 \, \text{mol}/\text{m}^3$
  • 摩尔流量：
    $G = Q \cdot \rho \approx 0.020106 \cdot 40.95 \approx 0.822 \, \text{mol}/\text{s}$

4. 管长计算

代入传质速率方程：
$L = \frac{G (y_2 - y_1)}{k_y \cdot \pi \cdot d \cdot \Delta y_{\text{LM}}} = \frac{0.822 \cdot (0.03128 - 0.01251)}{0.02 \cdot \pi \cdot 0.08 \cdot 0.9735} \approx 3.15 \, \text{m}$