某反应其半衰期与起始浓度成反比,则反应完成87.5%的时间t1与反应完成50%的时间t2之间的关系是（)。A. t_1=2t_2B. t_1=4t_2C. t_1=7t_2D. t_1=5t_2

考查要点：本题主要考查化学反应速率与半衰期的关系，特别是不同反应级数下半衰期的计算，以及反应完成百分比与时间的关系。

解题核心思路：

1. 确定反应级数：根据题目中“半衰期与起始浓度成反比”，可判断该反应为二级反应（二级反应的半衰期公式为 $t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$）。
2. 建立浓度与时间的关系式：利用二级反应的积分式 $\frac{1}{[A]} = kt + \frac{1}{[A]_0}$，分别计算反应完成 $50\%$ 和 $87.5\%$ 时的时间 $t_2$ 和 $t_1$。
3. 比较时间关系：通过代数运算得出 $t_1$ 与 $t_2$ 的比例关系。

破题关键点：

• 正确关联半衰期与反应级数：明确二级反应的半衰期公式。
• 准确转化反应完成百分比为浓度比：完成 $87.5\%$ 对应浓度为初始浓度的 $\frac{1}{8}$。

步骤1：确定反应级数与半衰期公式

题目中给出半衰期 $t_{1/2}$ 与起始浓度 $[A]_0$ 成反比，即 $t_{1/2} \propto \frac{1}{[A]_0}$。
二级反应的半衰期公式为：
$t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$
因此，该反应为二级反应。

步骤2：建立浓度与时间的关系式

二级反应的积分式为：
$\frac{1}{[A]} = kt + \frac{1}{[A]_0}$
其中 $[A]$ 为时间 $t$ 时的浓度，$[A]_0$ 为初始浓度，$k$ 为速率常数。

步骤3：计算 $t_2$（反应完成50%的时间）

当反应完成 $50\%$ 时，剩余浓度为 $[A] = \frac{[A]_0}{2}$。代入公式：
$\frac{1}{\frac{[A]_0}{2}} = k t_2 + \frac{1}{[A]_0} \implies \frac{2}{[A]_0} = k t_2 + \frac{1}{[A]_0} \implies k t_2 = \frac{1}{[A]_0} \implies t_2 = \frac{1}{k[A]_0}.$

步骤4：计算 $t_1$（反应完成87.5%的时间）

当反应完成 $87.5\%$ 时，剩余浓度为 $[A] = \frac{[A]_0}{8}$。代入公式：
$\frac{1}{\frac{[A]_0}{8}} = k t_1 + \frac{1}{[A]_0} \implies \frac{8}{[A]_0} = k t_1 + \frac{1}{[A]_0} \implies k t_1 = \frac{7}{[A]_0} \implies t_1 = \frac{7}{k[A]_0}.$

步骤5：比较 $t_1$ 与 $t_2$

由 $t_2 = \frac{1}{k[A]_0}$ 和 $t_1 = \frac{7}{k[A]_0}$，可得：
$t_1 = 7 t_2.$