题目
圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大挠度是原来的（ ）倍。A. 2B. 8C. 4D. 16
圆截面的悬臂梁在自由端受集中力的作用，当梁的直径减少一半而其他条件不变时，最大挠度是原来的（ ）倍。
A. 2
B. 8
C. 4
D. 16
题目解答
答案
D. 16
解析
步骤 1：确定悬臂梁的挠度公式
悬臂梁在自由端受集中力作用时，其最大挠度公式为：
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{PL^3}{3EI} \]
其中，\(P\) 是作用在自由端的集中力，\(L\) 是梁的长度，\(E\) 是材料的弹性模量，\(I\) 是截面的惯性矩。
步骤 2：计算圆截面的惯性矩
圆截面的惯性矩 \(I\) 为：
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
其中，\(d\) 是圆截面的直径。
步骤 3：分析直径变化对挠度的影响
当直径减少一半时，新的直径为 \(d' = \frac{d}{2}\)，新的惯性矩 \(I'\) 为：
\[ I' = \frac{\pi (d')^4}{64} = \frac{\pi (\frac{d}{2})^4}{64} = \frac{\pi d^4}{64 \times 16} = \frac{I}{16} \]
因此，新的最大挠度 \(\delta'_{\text{max}}\) 为：
\[ \delta'_{\text{max}} = \frac{PL^3}{3EI'} = \frac{PL^3}{3E \times \frac{I}{16}} = 16 \times \frac{PL^3}{3EI} = 16 \times \delta_{\text{max}} \]
悬臂梁在自由端受集中力作用时，其最大挠度公式为：
\[ \delta_{\text{max}} = \frac{PL^3}{3EI} \]
其中，\(P\) 是作用在自由端的集中力，\(L\) 是梁的长度，\(E\) 是材料的弹性模量，\(I\) 是截面的惯性矩。
步骤 2：计算圆截面的惯性矩
圆截面的惯性矩 \(I\) 为：
\[ I = \frac{\pi d^4}{64} \]
其中，\(d\) 是圆截面的直径。
步骤 3：分析直径变化对挠度的影响
当直径减少一半时，新的直径为 \(d' = \frac{d}{2}\)，新的惯性矩 \(I'\) 为：
\[ I' = \frac{\pi (d')^4}{64} = \frac{\pi (\frac{d}{2})^4}{64} = \frac{\pi d^4}{64 \times 16} = \frac{I}{16} \]
因此，新的最大挠度 \(\delta'_{\text{max}}\) 为：
\[ \delta'_{\text{max}} = \frac{PL^3}{3EI'} = \frac{PL^3}{3E \times \frac{I}{16}} = 16 \times \frac{PL^3}{3EI} = 16 \times \delta_{\text{max}} \]