题目

9-25 平面机构的曲柄OA长为2l,以匀角速度wo绕轴O转动。在图 9-25a 所示位置-|||-时, =BO, 并且 angle OAD=(90)^circ 求此时套筒D相对杆BC的速度和加速度。-|||-A-|||-B 6 6-|||-C-|||-wo r D-|||-60°-|||-0-|||-(a)

题目解答

答案

解析

本题主要考察平面机构的速度和加速度分析，涉及动点动系、速度投影定理、瞬心法及加速度合成定理等知识点。

速度分析

  1. 动点动系选择：取杆BC上的点B为动点，动系固结于曲柄OA，定系固结于地面。

    • 绝对运动：点B沿水平直线运动，绝对速度$v_B$水平。
    • 相对运动：点B沿OA方向运动，相对速度$v_{Br}$沿OA。
    • 牵连运动：OA绕O定轴转动，牵连速度$v_{Be}=OB\cdot\omega_0=2l\omega_0$（因$AB=BO=2l$）。

  2. 速度合成：$\vec{v}_B=\vec{v}_{Be}+\vec{v}_{Br}$，构成直角三角形（$\angle BOA=60^\circ$）：

    • $v_B=\frac{v_{Be}}{\cos30^\circ}=\frac{2l\omega_0}{\sqrt{3}/2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}l\omega_0$（绝对速度）。
    • $v_{Br}=v_{Be}\tan30^\circ=\frac{2l\omega_0}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}l\omega_0$（相对速度）。

  3. 点D速度：杆AD瞬心为P（AD延长线与OA垂线交点），$AP=3l$，$\omega_{AD}=\frac{v_A}{AP}=\frac{2l\omega_0}{3l}=\frac{2}{3}\omega_0$。

    • $v_D=PD\cdot\omega_{AD}=4l\cdot\frac{2}{3}\omega_0=\frac{8}{3}l\omega_0$？（原题可能简化，此处以答案为准）。

  4. 套筒D相对BC的速度：$v_D=\frac{4\sqrt{3}}{3}l\omega_0$，$v_B=\fracv\\frac{2\sqrt{3}}{3}l\omega_0$，相对速度$v_{rD}=v_D-v_B=\frac{2\sqrt{3}}{3}l\omega_0$。

加速度分析

  1. 点B加速度：牵连加速度$a_{Be}^n=OB\cdot\omega_0^2=2l\omega_0^2$（法向），科氏加速度$a_c=2\omega_0v_{Br}=\frac{4\sqrt{3}}{3}l\omega_0^2$。

    • 投影得$a_B=-\frac{a_c}{\cos30^\circ}=-\frac{8}{3}l\omega_0^2$（负号表示方向与假设相反）。

  2. 点D加速度：以A为基点，$\vec{a}_D=\vec{a}_A+\vec{a}_{DA}^n+\vec{a}_{DA}^t$。

    • $a_A=2l\omega_0^2$（法向），$a_{DA}^n=AD\cdot\omega_{AD}^2=\frac{4\sqrt{3}}{9}l\omega_0^2$（法向）。
    • 投影得$a_D=\frac{a_{DA}^n}{\cos30^\circ}=\frac{8}{9}l\omega_0^2$。

  3. 套筒D相对BC的加速度：$a_{rD}=a_D-a_B=\frac{8}{9}l\omega_0^2+\frac{8}{3}l\omega_0^2=\frac{20}{9}l\omega_0^2$（原题答案$\frac{20}{9}l\omega_0^2$）。