8-15 如图 8-18 所示,电动机的功率 =9kW, 转速 =715r/min, 带轮直径 D=-|||-250mm,主轴外伸部分长度 =120mm, 主轴直径 =40mm 若 [ theta ] =60MPa, 试用-|||-第三强度理论校核轴的强度。-|||-2F-|||-。-|||-F-|||-771717777-|||-图 8-18

本题考查轴在弯曲与扭转组合变形下的强度校核校核，解题思路如下：

1. 计算扭矩：根据电动机的功率和转速，利用公式计算出轴所受的扭矩。
2. 计算外力：根据扭矩与外力偶矩的关系，求出作用在轴上的外力。
3. 计算最大弯矩：根据外力和轴的几何尺寸，计算出轴所受的最大弯矩。
4. 强度校核：根据第三强度理论，计算出轴的相当应力，并与许用应力进行比较，判断轴的强度是否满足要求。

详细解答

1.. 计算扭矩 $T$
已知电动机功率 $P = 9kW=9\times10^{3}W\mathrm{W}$，转速 $n = 715r/min$。
根据功率、扭矩和转速的关系公式 $T = 9549\times\frac{P_{k}}{n}$（其中 $P_{k}$ 为功率，单位为 $kW$，可得扭矩 $T$ 为：
$T = M_{n}=9549\times\frac{P_{k}}{n}=9549\times\frac{9}{715}\approx120.2\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$
2. 计算外力 $F$
因为扭转外力偶矩 $M_{e}$ 与扭矩 $T$ 相等，且 $M_{e}=(2F - F)\times\frac{D}{2}=\frac{1}{2}FD$（这里假设力的关系使得外力偶矩为 $\frac{1}{2}FD$），所以可得：
$F=\frac{2T}{D}$
已知 $D = 250mm = 0.25m$，$T = 120.2\mathrm{N}\cdot{m}$，代入可得：
$F=\frac{2\times120.2}{0.25}=961.6\mathrm{N}$
3. 计算最大弯矩 $M$
轴在弯曲变形下，最大弯矩发生在轴的固定端处，根据外力 $F$ 和轴的外伸长度 $l = 120mm = 0.12m$，可得最大弯矩 $M$ 为：
$M = Fl=961.6\times0.12 = 346.2\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$
4. 强度校核
对于弯曲和扭转的组合变形，根据第三强度理论，第三强度理论的相当应力计算公式为 $\sigma_{r3}=\frac{\sqrt{M^{2}+T^{2}}}{W}$，其中 $W$ 为抗弯截面系数。
对于圆形截面，抗弯截面系数 $W=\frac{\pi d^{3}}{32}$，已知 $d = 40mm = 0.04m$，则 $W=\frac{\pi\times(0.04)^{3}}{2}$。
将 $M = 346.2\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$，$T = 120.2\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}$ 和 $W=\frac{\pi\times(0.04)^{3}}{2}$ 代入相当应力公式可得：
$\sigma_{r3}=\frac{\sqrt{346.2^{2 + 120.2^{2}}}{\frac{\pi\times(0.04)^{3}}{2}}$
$=\frac{\sqrt{346.2^{2}+120.2^{2}}\times2\}/(\pi\times0.04^{3})$
$=\frac{\sqrt{119854.44 + 14448.04}\times2}{\pi\times0.04^{3}}$
$=\frac{\sqrt{134302.48}\times2}{\pi\times0.04^{3}}$
$=\frac{366.47\times2}{\pi\times0.04^{3}$
$\approx58.3\mathrm{MPa}$
已知许用应力 $[\sigma]=60\mathrm{MPa}$，因为 $\sigma_{r3}=58.3\mathrm{MPa}<[\sigma]=60\mathrm{MPa}$，所以轴的强度满足要求。