计算面心立方、体心立方和密排六方晶胞的致密度。

致密度是衡量晶体结构中原子排列紧密程度的指标，计算公式为：
$\eta = \frac{V_{\text{原子体积}}}{V_{\text{晶胞体积}}} = \frac{\text{晶胞中原子总数} \times \frac{4}{3}\pi r^3}{V_{\text{晶胞}}}$
关键点：

1. 确定晶胞中原子总数：根据晶体结构（fcc、bcc、hcp）计算原子数；
2. 计算晶胞体积：结合原子半径$r$与晶格常数$a$的关系；
3. 化简表达式：代入几何关系，最终得到致密度。

面心立方（fcc）

原子总数

每个晶胞有4个原子（8个角原子各占$\frac{1}{8}$，6个面原子各占$\frac{1}{2}$）。

晶胞体积

面对角线为$4r$，由$a\sqrt{2} = 4r$得$a = 2\sqrt{2}r$，故$V_{\text{晶胞}} = a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$。

致密度

$\eta = \frac{4 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{16\sqrt{2}r^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74$

体心立方（bcc）

原子总数

每个晶胞有2个原子（8个角原子各占$\frac{1}{8}$，1个体原子）。

晶胞体积

体对角线为$4r$，由$a\sqrt{3} = 4r$得$a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$，故$V_{\text{晶胞}} = a^3 = \frac{64r^3}{3\sqrt{3}}$。

致密度

$\eta = \frac{2 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{64r^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.68$

密排六方（hcp）

原子总数

每个晶胞有6个原子。

晶胞体积

六方晶胞体积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2c$，理想情况下$c = a\sqrt{\frac{8}{3}}$，代入得$V_{\text{晶胞}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \cdot a\sqrt{\frac{8}{3}} = 3\sqrt{2}a^3$。

致密度

$\eta = \frac{6 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{3\sqrt{2}a^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74$