题目
13.3 计算图示各杆的应变能。-|||-4 2A A F F-|||-A B C-|||-ds " B-|||-l l-|||-(a) θ,-|||-M。 EI EI dθ-|||-A C 0-|||-B A-|||-R-|||-1/3 21/3-|||-(b) (c)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定应变能公式
对于线弹性材料，应变能 $V_e$ 可以通过积分应力与应变的乘积来计算。对于杆件，应变能可以表示为：
\[ V_e = \int \frac{1}{2} \sigma \varepsilon A \, dx \]
其中，$\sigma$ 是应力，$\varepsilon$ 是应变，$A$ 是横截面面积，$x$ 是沿杆件的坐标。
步骤 2：计算(a)图中的应变能
(a)图中，杆件受到轴向力$F$的作用，应力$\sigma = \frac{F}{A}$，应变$\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{EA}$。由于杆件的长度为$l$，应变能为：
\[ V_e = \int_0^l \frac{1}{2} \frac{F}{A} \frac{F}{EA} A \, dx = \int_0^l \frac{F^2}{2EA} \, dx = \frac{F^2}{2EA} l \]
由于题目中提到杆件的截面积为$2A$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{F^2}{2 \cdot 2A} l = \frac{F^2 l}{4EA} \]
步骤 3：计算(b)图中的应变能
(b)图中，杆件受到弯矩$M_0$的作用，弯矩引起的应变能为：
\[ V_e = \int_0^L \frac{1}{2} \frac{M^2}{EI} \, dx \]
其中，$M$是弯矩，$I$是截面的惯性矩，$E$是弹性模量。由于弯矩$M$是常数$M_0$，应变能为：
\[ V_e = \frac{1}{2} \frac{M_0^2}{EI} L \]
由于题目中提到杆件的长度为$L$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{M_0 L}{18EI} \]
步骤 4：计算(c)图中的应变能
(c)图中，杆件受到轴向力$F$的作用，应力$\sigma = \frac{F}{A}$，应变$\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{EA}$。由于杆件的长度为$R$，应变能为：
\[ V_e = \int_0^R \frac{1}{2} \frac{F}{A} \frac{F}{EA} A \, dx = \int_0^R \frac{F^2}{2EA} \, dx = \frac{F^2}{2EA} R \]
由于题目中提到杆件的截面积为$\frac{\pi R^2}{4}$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{F^2}{2 \cdot \frac{\pi R^2}{4} E} R = \frac{2F^2 R}{\pi R^2 E} = \frac{2F^2}{\pi R E} \]
由于题目中提到杆件的长度为$\frac{\pi R}{2}$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{2F^2}{\pi R E} \cdot \frac{\pi R}{2} = \frac{F^2}{E} \]
由于题目中提到杆件的长度为$\frac{\pi R}{2}$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{\pi F^2 R^3}{8El} \]
对于线弹性材料，应变能 $V_e$ 可以通过积分应力与应变的乘积来计算。对于杆件，应变能可以表示为：
\[ V_e = \int \frac{1}{2} \sigma \varepsilon A \, dx \]
其中，$\sigma$ 是应力，$\varepsilon$ 是应变，$A$ 是横截面面积，$x$ 是沿杆件的坐标。
步骤 2：计算(a)图中的应变能
(a)图中，杆件受到轴向力$F$的作用，应力$\sigma = \frac{F}{A}$，应变$\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{EA}$。由于杆件的长度为$l$，应变能为：
\[ V_e = \int_0^l \frac{1}{2} \frac{F}{A} \frac{F}{EA} A \, dx = \int_0^l \frac{F^2}{2EA} \, dx = \frac{F^2}{2EA} l \]
由于题目中提到杆件的截面积为$2A$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{F^2}{2 \cdot 2A} l = \frac{F^2 l}{4EA} \]
步骤 3：计算(b)图中的应变能
(b)图中，杆件受到弯矩$M_0$的作用，弯矩引起的应变能为：
\[ V_e = \int_0^L \frac{1}{2} \frac{M^2}{EI} \, dx \]
其中，$M$是弯矩，$I$是截面的惯性矩，$E$是弹性模量。由于弯矩$M$是常数$M_0$，应变能为：
\[ V_e = \frac{1}{2} \frac{M_0^2}{EI} L \]
由于题目中提到杆件的长度为$L$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{M_0 L}{18EI} \]
步骤 4：计算(c)图中的应变能
(c)图中，杆件受到轴向力$F$的作用，应力$\sigma = \frac{F}{A}$，应变$\varepsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{F}{EA}$。由于杆件的长度为$R$，应变能为：
\[ V_e = \int_0^R \frac{1}{2} \frac{F}{A} \frac{F}{EA} A \, dx = \int_0^R \frac{F^2}{2EA} \, dx = \frac{F^2}{2EA} R \]
由于题目中提到杆件的截面积为$\frac{\pi R^2}{4}$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{F^2}{2 \cdot \frac{\pi R^2}{4} E} R = \frac{2F^2 R}{\pi R^2 E} = \frac{2F^2}{\pi R E} \]
由于题目中提到杆件的长度为$\frac{\pi R}{2}$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{2F^2}{\pi R E} \cdot \frac{\pi R}{2} = \frac{F^2}{E} \]
由于题目中提到杆件的长度为$\frac{\pi R}{2}$，所以应变能为：
\[ V_e = \frac{\pi F^2 R^3}{8El} \]