哈夫曼编码[1]问题。给定a b c d e f六个字符,其中每个字符出现的频率是a:45% ,b:13% ,c:12% ,d:16% ,e:9% ,f:5%。(1)根据哈夫曼算法,构造最优哈夫曼树[2]。(2)写出表示a-f字符的哈夫曼编码,并计算平均编码长度。

步骤 1：构造哈夫曼树
首先，根据给定的字符及其频率，列出所有字符及其频率：
a: 45%
b: 13%
c: 12%
d: 16%
e: 9%
f: 5%
然后，将字符按频率从小到大排序：
f: 5%
e: 9%
c: 12%
b: 13%
d: 16%
a: 45%
接下来，合并频率最小的两个节点，直到所有节点合并成一个根节点：
1. 合并 f(5%) 和 e(9%) 得到新节点 fe(14%)
2. 合并 c(12%) 和 b(13%) 得到新节点 cb(25%)
3. 合并 fe(14%) 和 d(16%) 得到新节点 fed(30%)
4. 合并 cb(25%) 和 fed(30%) 得到新节点 cbfed(55%)
5. 合并 a(45%) 和 cbfed(55%) 得到根节点 abcfed(100%)

步骤 2：分配哈夫曼编码
从根节点开始，为每个字符分配哈夫曼编码，左分支为0，右分支为1：
a: 0
cbfed: 1
cb: 0
b: 0
c: 1
fed: 1
fe: 0
e: 0
f: 1
d: 1

步骤 3：计算平均编码长度
使用上面计算的编码长度：
a: 1 bit, 频率 = 45%
b: 3 bits, 频率 = 13%
c: 3 bits, 频率 = 12%
d: 3 bits, 频率 = 16%
e: 3 bits, 频率 = 9%
f: 3 bits, 频率 = 5%
计算平均编码长度：
L = (0.45 × 1) + (0.13 × 3) + (0.12 × 3) + (0.16 × 3) + (0.09 × 3) + (0.05 × 3)
L = 0.45 + 0.39 + 0.36 + 0.48 + 0.27 + 0.15
L = 2.10
因此，平均编码长度是 2.10位。