题目
已知圆截面扭转时,截面上的最大切应力tau _max,两端面的相对扭转角phi,若直径变为原来的2倍,则此时的最大切应力tau _max,两端面的相对扭转角phi^}与原来的比值为:^---^●)A. tau _max^ ( ' / tau _max=1div 8, phi ^ { ' ) / phi =1div 8●)B. tau _max^ ( ' ) / tau _max=1div 2, phi ^ ( ' ) / phi =1div 4()C. tau _max^ ( ' ) / tau _max=1div 4, phi ^ ( ' ) / phi =1div 8●D. tau _max^ ( ' ) / tau _max=1div 8, phi ^ ( ' ) / phi =1div 16
已知圆截面扭转时,截面上的最大切应力\tau \_max,两端面的相对扭转角\phi,若直径变为原来的2倍,则此时的最大切应力\tau \_max,两端面的相对扭转角\phi^{}与原来的比值为:^---^●)
A. $$ \tau \_max^ { ' }\ \ / \tau \_max=1\div 8, \phi ^ { ' }\ \ / \phi =1\div 8●)
B. $$ \tau \_max^ { ' }\ \ / \tau \_max=1\div 2, \phi ^ { ' }\ \ / \phi =1\div 4()
C. $$ \tau \_max^ { ' }\ \ / \tau \_max=1\div 4, \phi ^ { ' }\ \ / \phi =1\div 8●
D. $$ \tau \_max^ { ' }\ \ / \tau \_max=1\div 8, \phi ^ { ' }\ \ / \phi =1\div 16\ \
题目解答
答案
D. $$ \tau \_max^ { ' }\ \ / \tau \_max=1\div 8, \phi ^ { ' }\ \ / \phi =1\div 16\ \
解析
步骤 1：确定圆截面扭转时最大切应力的公式
圆截面扭转时，最大切应力 \(\tau_{max}\) 可以用公式 \(\tau_{max} = \frac{16T}{\pi d^3}\) 来计算，其中 \(T\) 是扭矩，\(d\) 是圆截面的直径。
步骤 2：确定圆截面扭转时相对扭转角的公式
圆截面扭转时，两端面的相对扭转角 \(\phi\) 可以用公式 \(\phi = \frac{Tl}{GJ}\) 来计算，其中 \(T\) 是扭矩，\(l\) 是圆截面的长度，\(G\) 是材料的剪切模量，\(J\) 是圆截面的极惯性矩，对于圆截面，\(J = \frac{\pi d^4}{32}\)。
步骤 3：计算直径变为原来的2倍时最大切应力和相对扭转角的变化
当直径 \(d\) 变为原来的2倍时，即 \(d' = 2d\)，则最大切应力 \(\tau_{max}'\) 和相对扭转角 \(\phi'\) 分别为：
\[
\tau_{max}' = \frac{16T}{\pi (2d)^3} = \frac{16T}{8\pi d^3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{16T}{\pi d^3} = \frac{1}{8} \tau_{max}
\]
\[
\phi' = \frac{Tl}{GJ'} = \frac{Tl}{G \cdot \frac{\pi (2d)^4}{32}} = \frac{Tl}{G \cdot \frac{16\pi d^4}{32}} = \frac{Tl}{G \cdot \frac{\pi d^4}{2}} = \frac{1}{16} \cdot \frac{Tl}{G \cdot \frac{\pi d^4}{32}} = \frac{1}{16} \phi
\]
圆截面扭转时，最大切应力 \(\tau_{max}\) 可以用公式 \(\tau_{max} = \frac{16T}{\pi d^3}\) 来计算，其中 \(T\) 是扭矩，\(d\) 是圆截面的直径。
步骤 2：确定圆截面扭转时相对扭转角的公式
圆截面扭转时，两端面的相对扭转角 \(\phi\) 可以用公式 \(\phi = \frac{Tl}{GJ}\) 来计算，其中 \(T\) 是扭矩，\(l\) 是圆截面的长度，\(G\) 是材料的剪切模量，\(J\) 是圆截面的极惯性矩，对于圆截面，\(J = \frac{\pi d^4}{32}\)。
步骤 3：计算直径变为原来的2倍时最大切应力和相对扭转角的变化
当直径 \(d\) 变为原来的2倍时，即 \(d' = 2d\)，则最大切应力 \(\tau_{max}'\) 和相对扭转角 \(\phi'\) 分别为：
\[
\tau_{max}' = \frac{16T}{\pi (2d)^3} = \frac{16T}{8\pi d^3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{16T}{\pi d^3} = \frac{1}{8} \tau_{max}
\]
\[
\phi' = \frac{Tl}{GJ'} = \frac{Tl}{G \cdot \frac{\pi (2d)^4}{32}} = \frac{Tl}{G \cdot \frac{16\pi d^4}{32}} = \frac{Tl}{G \cdot \frac{\pi d^4}{2}} = \frac{1}{16} \cdot \frac{Tl}{G \cdot \frac{\pi d^4}{32}} = \frac{1}{16} \phi
\]