2、一陶瓷含体积百分比为 95%的 Al2O3(E=380GPa)和 5%的玻璃相(E=84GPa)，计算上限及下限弹性模数。(12 分)

考查要点：本题主要考查复合材料弹性模数的上限模型和下限模型的计算方法，涉及材料科学中的体积分数加权平均概念。

解题核心思路：

• 上限弹性模数：假设复合材料中各组分应变相同，采用体积分数加权平均计算。
• 下限弹性模数：假设复合材料中各组分应力相同，采用体积分数对弹性模数倒数的加权平均，再取倒数计算。

破题关键点：

• 明确区分两种模型的适用条件及对应的公式形式。
• 注意单位统一（体积百分比需转换为小数形式）。

上限弹性模数（应变相同）

公式：
$E_{\text{上}} = E_f V_f + E_m V_m$
其中：

• $E_f = 380 \, \text{GPa}$（Al₂O₃弹性模数），$V_f = 95\% = 0.95$；
• $E_m = 84 \, \text{GPa}$（玻璃相弹性模数），$V_m = 5\% = 0.05$。

代入计算：
$E_{\text{上}} = 380 \times 0.95 + 84 \times 0.05 = 361 + 4.2 = 365.2 \, \text{GPa} \quad (\text{取整后为} \, 365 \, \text{GPa})$

下限弹性模数（应力相同）

公式：
$\frac{1}{E_{\text{下}}} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}$
代入计算：
$\frac{1}{E_{\text{下}}} = \frac{0.95}{380} + \frac{0.05}{84} = 0.0025 + 0.0005952 = 0.0030952$
取倒数：
$E_{\text{下}} = \frac{1}{0.0030952} \approx 323 \, \text{GPa}$