题目
7-7 各单元体如图所示(图中应力单位为MPa)。试利用应力圆的几何关系求:-|||-(1)指定截面上的应力;-|||-(2)主应力的数值;-|||-(3)在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。-|||-40 50 20-|||-20 30 50-|||-30-|||-30 60 45 50-|||-30 50-|||-(a) (b) (c) (d)-|||-习题 7-7
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定应力圆的几何参数
对于每个单元体，首先需要确定应力圆的几何参数，包括圆心位置和半径。应力圆的圆心位于横轴上，其横坐标为平均应力，即 ${\sigma }_{avg}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}$。应力圆的半径为 ${R}=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\right)}^{2}+{\tau }^{2}}$，其中 ${\tau }$ 为剪应力。
步骤 2：计算指定截面上的应力
对于指定的截面，需要计算该截面上的正应力 ${\sigma }_{\alpha }$ 和剪应力 ${T}_{\alpha }$。根据应力圆的几何关系，${\sigma }_{\alpha }$ 为圆心到指定截面的连线与横轴的交点的横坐标，${T}_{\alpha }$ 为该连线与横轴的交点的纵坐标。
步骤 3：确定主应力的数值
主应力的数值为应力圆与横轴的交点的横坐标，即 ${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{3}$。其中，${\sigma }_{1}$ 为应力圆与横轴的右交点的横坐标，${\sigma }_{3}$ 为应力圆与横轴的左交点的横坐标。
步骤 4：确定主平面的位置及主应力的方向
主平面的位置为应力圆与横轴的交点的连线与横轴的夹角，即 ${\alpha }_{0}$。主应力的方向为应力圆与横轴的交点的连线与横轴的夹角的两倍，即 ${2\alpha }_{0}$。
对于每个单元体，首先需要确定应力圆的几何参数，包括圆心位置和半径。应力圆的圆心位于横轴上，其横坐标为平均应力，即 ${\sigma }_{avg}=\frac{{\sigma }_{x}+{\sigma }_{y}}{2}$。应力圆的半径为 ${R}=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{x}-{\sigma }_{y}}{2}\right)}^{2}+{\tau }^{2}}$，其中 ${\tau }$ 为剪应力。
步骤 2：计算指定截面上的应力
对于指定的截面，需要计算该截面上的正应力 ${\sigma }_{\alpha }$ 和剪应力 ${T}_{\alpha }$。根据应力圆的几何关系，${\sigma }_{\alpha }$ 为圆心到指定截面的连线与横轴的交点的横坐标，${T}_{\alpha }$ 为该连线与横轴的交点的纵坐标。
步骤 3：确定主应力的数值
主应力的数值为应力圆与横轴的交点的横坐标，即 ${\sigma }_{1}$ 和 ${\sigma }_{3}$。其中，${\sigma }_{1}$ 为应力圆与横轴的右交点的横坐标，${\sigma }_{3}$ 为应力圆与横轴的左交点的横坐标。
步骤 4：确定主平面的位置及主应力的方向
主平面的位置为应力圆与横轴的交点的连线与横轴的夹角，即 ${\alpha }_{0}$。主应力的方向为应力圆与横轴的交点的连线与横轴的夹角的两倍，即 ${2\alpha }_{0}$。