试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度,设晶格常数为a。

面心立方结构的晶面原子数面密度计算，关键在于确定晶面内原子数目和正确计算晶面面积。

• （110）面：选取包含一个原子的最小区域，面积由几何关系确定；
• （111）面：需考虑等边三角形的面积公式，结合角度计算。
  核心思路：通过晶面几何形状，计算单位面积内原子数。

（110）面原子数面密度

1. 选取区域：选取面AFGD，仅包含一个原子。
2. 面积计算：
   • 该区域为菱形，边长为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$，角度为$90^\circ$。
   • 面积公式：$\text{面积} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a^2$。
3. 面密度：
   $\text{面密度} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}a^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{a^2}.$

（111）面原子数面密度

1. 选取区域：选取面DHIG，仅包含一个原子。
2. 面积计算：
   • 区域为菱形，边长为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$，角度为$60^\circ$。
   • 面积公式：$\text{面积} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}a\right)^2 \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
3. 面密度：
   $\text{面密度} = \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3a^2}.$