3.一陶瓷含体积百分比为 95%的 Al2O3 (E = 380 GPa)和 5%的玻璃相(E = 84 GPa)，试计算其上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有 5%的气孔，再估算其上限和下限弹性模量。

考查要点：本题主要考查复合材料弹性模量的上下限模型（Voigt模型和Reuss模型）的应用，以及气孔对弹性模量的影响。

解题核心思路：

1. 无气孔时：利用体积平均法计算上限弹性模量（Voigt模型），利用倒数体积平均法计算下限弹性模量（Reuss模型）。
2. 含气孔时：将气孔视为第三相（弹性模量为0），通过经验公式调整原上下限弹性模量。

破题关键点：

• 区分上下限模型的公式：上限为直接体积平均，下限为倒数体积平均。
• 气孔的影响：气孔降低弹性模量，需代入经验公式修正。

无气孔时的弹性模量计算

上限弹性模量（Voigt模型）

公式：
$E_{\text{upper}} = V_1 E_1 + V_2 E_2$
代入数据：
$E_{\text{upper}} = 0.95 \times 380 + 0.05 \times 84 = 365.2 \, \text{GPa}$

下限弹性模量（Reuss模型）

公式：
$\frac{1}{E_{\text{lower}}} = \frac{V_1}{E_1} + \frac{V_2}{E_2}$
代入数据：
$\frac{1}{E_{\text{lower}}} = \frac{0.95}{380} + \frac{0.05}{84} \approx 0.003095 \quad \Rightarrow \quad E_{\text{lower}} \approx 323.1 \, \text{GPa}$

含5%气孔时的弹性模量估算

经验公式：
$E = E_0 \left( 1 - 1.9P + 0.9P^2 \right)$
其中 $P = 0.05$，$E_0$ 为无气孔时的弹性模量。

上限弹性模量修正

$E_{\text{upper,new}} = 365.2 \times \left( 1 - 1.9 \times 0.05 + 0.9 \times 0.05^2 \right) \approx 331.3 \, \text{GPa}$

下限弹性模量修正

$E_{\text{lower,new}} = 323.1 \times \left( 1 - 1.9 \times 0.05 + 0.9 \times 0.05^2 \right) \approx 293.1 \, \text{GPa}$