题目
圆形截面简支梁由A、B套成,A、B层间不计摩擦,材料的弹性模量 。求在外力偶矩 作用下,A、B中最大正应力的比值 为( )A. 1/6B. 1/4C. 1/8D. 1/10
圆形截面简支梁由A、B套成,A、B层间不计摩擦,材料的弹性模量 。求在外力偶矩 作用下,A、B中最大正应力的比值 为( )
A. 1/6
B. 1/4
C. 1/8
D. 1/10
题目解答
答案
B. 1/4
解析
步骤 1：确定最大正应力的计算公式
最大正应力的计算公式为：σ = M * y / I，其中M为弯矩，y为截面的最远点到中性轴的距离，I为截面对中性轴的惯性矩。
步骤 2：计算A、B层的最大正应力
对于A层，最大正应力为：σ_A = M * y_A / I_A，其中y_A为A层最远点到中性轴的距离，I_A为A层对中性轴的惯性矩。
对于B层，最大正应力为：σ_B = M * y_B / I_B，其中y_B为B层最远点到中性轴的距离，I_B为B层对中性轴的惯性矩。
步骤 3：计算A、B层的最大正应力比值
最大正应力比值为：σ_A / σ_B = (M * y_A / I_A) / (M * y_B / I_B) = (y_A / y_B) * (I_B / I_A)。
步骤 4：根据题目条件计算比值
根据题目条件，A、B层间不计摩擦，材料的弹性模量相同，因此A、B层的惯性矩比值为I_B / I_A = (D_B^4 - d_B^4) / (D_A^4 - d_A^4)，其中D_B、d_B为B层的外径和内径，D_A、d_A为A层的外径和内径。
根据题目条件，A、B层的外径和内径分别为D_B = 2D_A，d_B = D_A，因此I_B / I_A = (2D_A^4 - D_A^4) / (D_A^4 - 0) = 15。
根据题目条件，A、B层的最远点到中性轴的距离分别为y_A = D_A / 2，y_B = D_B / 2 = D_A，因此y_A / y_B = 1 / 2。
因此，最大正应力比值为：σ_A / σ_B = (y_A / y_B) * (I_B / I_A) = (1 / 2) * 15 = 15 / 2 = 7.5。
最大正应力的计算公式为：σ = M * y / I，其中M为弯矩，y为截面的最远点到中性轴的距离，I为截面对中性轴的惯性矩。
步骤 2：计算A、B层的最大正应力
对于A层，最大正应力为：σ_A = M * y_A / I_A，其中y_A为A层最远点到中性轴的距离，I_A为A层对中性轴的惯性矩。
对于B层，最大正应力为：σ_B = M * y_B / I_B，其中y_B为B层最远点到中性轴的距离，I_B为B层对中性轴的惯性矩。
步骤 3：计算A、B层的最大正应力比值
最大正应力比值为：σ_A / σ_B = (M * y_A / I_A) / (M * y_B / I_B) = (y_A / y_B) * (I_B / I_A)。
步骤 4：根据题目条件计算比值
根据题目条件，A、B层间不计摩擦，材料的弹性模量相同，因此A、B层的惯性矩比值为I_B / I_A = (D_B^4 - d_B^4) / (D_A^4 - d_A^4)，其中D_B、d_B为B层的外径和内径，D_A、d_A为A层的外径和内径。
根据题目条件，A、B层的外径和内径分别为D_B = 2D_A，d_B = D_A，因此I_B / I_A = (2D_A^4 - D_A^4) / (D_A^4 - 0) = 15。
根据题目条件，A、B层的最远点到中性轴的距离分别为y_A = D_A / 2，y_B = D_B / 2 = D_A，因此y_A / y_B = 1 / 2。
因此，最大正应力比值为：σ_A / σ_B = (y_A / y_B) * (I_B / I_A) = (1 / 2) * 15 = 15 / 2 = 7.5。