题目
5-3 一矩形截面梁如图所示,已知 =2kN, 横截面的高宽比 /b=3; 材料为松木,其-|||-许用应力为 [ theta ] =8MPa 试选择横截面的尺寸。-|||-F F F-|||-A B square -|||-1m 1m 1m 1m b-|||-题 5-3 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算最大弯矩
梁的受力情况为均布载荷，根据梁的受力分析，最大弯矩发生在梁的中点。梁的长度为4m，均布载荷为2kN，因此最大弯矩为：
$$
M_{max} = \frac{F \times L}{4} = \frac{2kN \times 4m}{4} = 2kN \cdot m
$$
步骤 2：计算截面的抗弯模量
矩形截面的抗弯模量为：
$$
W = \frac{bh^2}{6}
$$
其中，$b$为截面宽度，$h$为截面高度。根据题目条件，$h/b=3$，因此：
$$
W = \frac{b(3b)^2}{6} = \frac{9b^3}{6} = \frac{3b^3}{2}
$$
步骤 3：计算截面尺寸
根据许用应力公式，有：
$$
\sigma = \frac{M_{max}}{W} \leqslant [\sigma]
$$
代入已知条件，有：
$$
\frac{2kN \cdot m}{\frac{3b^3}{2}} \leqslant 8MPa
$$
化简得：
$$
b^3 \geqslant \frac{2kN \cdot m \times 2}{3 \times 8MPa} = \frac{4kN \cdot m}{24MPa} = \frac{4 \times 10^3N \cdot m}{24 \times 10^6N/m^2} = \frac{1}{6}m^3
$$
因此：
$$
b \geqslant \sqrt[3]{\frac{1}{6}}m = 0.0693m = 69.3mm
$$
根据题目条件，$h/b=3$，因此：
$$
h \geqslant 3b = 3 \times 69.3mm = 207.9mm
$$
梁的受力情况为均布载荷，根据梁的受力分析，最大弯矩发生在梁的中点。梁的长度为4m，均布载荷为2kN，因此最大弯矩为：
$$
M_{max} = \frac{F \times L}{4} = \frac{2kN \times 4m}{4} = 2kN \cdot m
$$
步骤 2：计算截面的抗弯模量
矩形截面的抗弯模量为：
$$
W = \frac{bh^2}{6}
$$
其中，$b$为截面宽度，$h$为截面高度。根据题目条件，$h/b=3$，因此：
$$
W = \frac{b(3b)^2}{6} = \frac{9b^3}{6} = \frac{3b^3}{2}
$$
步骤 3：计算截面尺寸
根据许用应力公式，有：
$$
\sigma = \frac{M_{max}}{W} \leqslant [\sigma]
$$
代入已知条件，有：
$$
\frac{2kN \cdot m}{\frac{3b^3}{2}} \leqslant 8MPa
$$
化简得：
$$
b^3 \geqslant \frac{2kN \cdot m \times 2}{3 \times 8MPa} = \frac{4kN \cdot m}{24MPa} = \frac{4 \times 10^3N \cdot m}{24 \times 10^6N/m^2} = \frac{1}{6}m^3
$$
因此：
$$
b \geqslant \sqrt[3]{\frac{1}{6}}m = 0.0693m = 69.3mm
$$
根据题目条件，$h/b=3$，因此：
$$
h \geqslant 3b = 3 \times 69.3mm = 207.9mm
$$