在稳定流动系统中,水连续从粗管流入细管,粗管内径d1 = 10cm, 细管内径d2=5cm,当流量为4x 10-3m3/s时,求粗管内和细管内水的 流速。

考查要点：本题主要考查稳定流动系统中不可压缩流体的连续性方程的应用，以及流速与管道直径的关系。

解题核心思路：

1. 连续性方程：在稳定流动中，流体的流量（体积流量）在各横截面处相等，即 $Q = U_1 A_1 = U_2 A_2$，其中 $U$ 是流速，$A$ 是横截面积。
2. 横截面积公式：圆形管道的横截面积 $A = \frac{\pi d^2}{4}$，其中 $d$ 是管道内径。
3. 流速与直径的关系：由连续性方程可推导出 $U_2 = U_1 \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2$，即流速与直径的平方成反比。

破题关键点：

• 正确代入流量公式计算粗管流速 $U_1$。
• 利用直径比例关系快速求出细管流速 $U_2$。

步骤1：计算粗管流速 $U_1$

1. 横截面积公式：
   粗管横截面积 $A_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} = \frac{\pi (0.1)^2}{4} \approx 0.00785 \, \text{m}^2$。
2. 流量公式：
   流量 $Q = U_1 A_1$，因此粗管流速：
   $U_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{4 \times 10^{-3}}{0.00785} \approx 0.51 \, \text{m/s}$

步骤2：计算细管流速 $U_2$

1. 连续性方程：
   由 $U_1 A_1 = U_2 A_2$，得 $\frac{U_2}{U_1} = \frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2$。
2. 代入直径比例：
   $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{10}{5} \right)^2 = 4$
   因此：
   $U_2 = 4 \times U_1 = 4 \times 0.51 \approx 2.04 \, \text{m/s}$