题目

已知一外啮合标准直齿圆柱齿轮传动[1]，中心距a=150(mm)，传动比i=2，压力角alpha=20^circ，m=5(mm)。试求两轮的齿数Z_1、Z_2，分度圆直径d_1、d_2，齿顶圆直径d_(a1)、d_(a2)，齿根圆直径d_(f1)、d_(f2)，基圆的直径d_(b1)、d_(b2)，齿厚s，齿槽宽e，齿距P和节圆直径[2]d_1'、d_2'。

已知一外啮合标准直齿圆柱齿轮传动[1]，中心距$a=150\text{mm}$，传动比$i=2$，压力角$\alpha=20^\circ$，$m=5\text{mm}$。试求两轮的齿数$Z_1$、$Z_2$，分度圆直径$d_1$、$d_2$，齿顶圆直径$d_{a1}$、$d_{a2}$，齿根圆直径$d_{f1}$、$d_{f2}$，基圆的直径$d_{b1}$、$d_{b2}$，齿厚$s$，齿槽宽$e$，齿距$P$和节圆直径[2]$d_1'$、$d_2'$。

题目解答

答案

根据题意： 1. $ Z_1 = 20 $，$ Z_2 = 40 $。 2. 分度圆直径：$ d_1 = 100 \, \text{mm} $，$ d_2 = 200 \, \text{mm} $。 3. 齿顶圆直径：$ d_{a1} = 110 \, \text{mm} $，$ d_{a2} = 210 \, \text{mm} $。 4. 齿根圆直径：$ d_{f1} = 87.5 \, \text{mm} $，$ d_{f2} = 187.5 \, \text{mm} $。 5. 基圆直径：$ d_{b1} = 100 \cos 20^\circ \approx 93.97 \, \text{mm} $，$ d_{b2} = 200 \cos 20^\circ \approx 187.94 \, \text{mm} $。 6. 齿厚 $ s = e = \frac{\pi m}{2} \approx 7.854 \, \text{mm} $。 7. 齿距 $ p = \pi m \approx 15.708 \, \text{mm} $。 8. 节圆直径：$ d_1 = 100 \, \text{mm} $，$ d_2 = 200 \, \text{mm} $。 最终结果： \[ \begin{align*} Z_1 &= 20, & Z_2 &= 40, \\ d_1 &= 100 \, \text{mm}, & d_2 &= 200 \, \text{mm}, \\ d_{a1} &= 110 \, \text{mm}, & d_{a2} &= 210 \, \text{mm}, \\ d_{f1} &= 87.5 \, \text{mm}, & d_{f2} &= 187.5 \, \text{mm}, \\ d_{b1} &\approx 93.97 \, \text{mm}, & d_{b2} &\approx 187.94 \, \text{mm}, \\ s &= e \approx 7.854 \, \text{mm}, & p &\approx 15.708 \, \text{mm}, \\ d_1 &= 100 \, \text{mm}, & d_2 &= 200 \, \text{mm}. \end{align*} \]

解析

考查要点：本题主要考查外啮合标准直齿圆柱齿轮传动的基本参数计算，包括齿数、分度圆直径、齿顶圆、齿根圆、基圆直径、齿厚、齿槽宽、齿距及节圆直径的求解。

解题核心思路：

  1. 传动比与齿数关系：传动比$i = Z_2/Z_1$，结合中心距公式$a = \frac{m(Z_1 + Z_2)}{2}$联立求解齿数。
  2. 分度圆直径：$d = mZ$，直接由模数和齿数计算。
  3. 其他几何参数：基于分度圆直径，结合标准齿轮几何关系（如齿顶高、齿根高、基圆与压力角的关系）逐步推导。

破题关键点：

  • 传动比与中心距联立确定齿数。
  • 标准齿轮参数公式的应用，如齿顶圆、齿根圆、基圆的计算公式。

1. 齿数计算

  • 传动比关系：$i = Z_2/Z_1 = 2 \implies Z_2 = 2Z_1$。
  • 中心距公式：$a = \frac{m(Z_1 + Z_2)}{2}$，代入$a=150\text{mm}$，$m=5\text{mm}$：
    $150 = \frac{5(Z_1 + 2Z_1)}{2} \implies Z_1 + Z_2 = 60 \implies Z_1 = 20, \, Z_2 = 40.$

2. 分度圆直径

  • $d_1 = mZ_1 = 5 \times 20 = 100\text{mm}$，
  • $d_2 = mZ_2 = 5 \times 40 = 200\text{mm}$。

3. 齿顶圆直径

  • 标准齿轮齿顶高系数$ha^* = 1$，齿顶圆直径：
    $d_{a1} = d_1 + 2ha \cdot m = 100 + 2 \times 1 \times 5 = 110\text{mm},$
    $d_{a2} = d_2 + 2ha \cdot m = 200 + 2 \times 1 \times 5 = 210\text{mm}.$

4. 齿根圆直径

  • 齿根高系数$hf^* = 1.25$，齿根圆直径：
    $d_{f1} = d_1 - 2(ha + hf) \cdot m = 100 - 2 \times (1 + 1.25) \times 5 = 87.5\text{mm},$
    $d_{f2} = d_2 - 2(ha + hf) \cdot m = 200 - 2 \times (1 + 1.25) \times 5 = 187.5\text{mm}.$

5. 基圆直径

  • 基圆直径公式$d_b = d \cos \alpha$：
    $d_{b1} = 100 \cos 20^\circ \approx 93.97\text{mm}, \quad d_{b2} = 200 \cos 20^\circ \approx 187.94\text{mm}.$

6. 齿厚、齿槽宽、齿距

  • 标准齿轮齿厚$s = \frac{\pi m}{2} \approx 7.854\text{mm}$，
  • 齿槽宽$e = s \approx 7.854\text{mm}$，
  • 齿距$p = \pi m \approx 15.708\text{mm}$。

7. 节圆直径

  • 标准安装时，节圆直径等于分度圆直径：
    $d_1' = d_1 = 100\text{mm}, \quad d_2' = d_2 = 200\text{mm}.$